LIV. VI, CHAP. VI.— DISCUS. DES ÉQUATIONS NUMÉR

Dans chacune des formules le signe du second membre change lorsque le point M passe d'un côté du plan X'OY' à l’autre ; si

donc on appelle h la valeur du produit cos Y /^is+n,+Ps » prise avec un signe convenable, on aura pour tous les points de l’espace la relation R = hz'. On démontrerait de même les relations Q= gy', P=/ir/. Il en résulte que l’équation de la surface, par rapport aux nouveaux axes, est

(18) af'x1' +bg*y'*+ch'z'*+k = 0.

La surface est une surface à centre unique, et les nouveaux plans des coordonnées sont trois plans diamétraux conjugués. L’espèce de la surface est déterminée immédiatement d’après les signes des nombres a, b, c, k.

560 — Remarque I. La transformation des coordonnées suppose que les plans définis par les équations P=0, Q=0, Rz=0 se coupent en un point unique. Cette condition peut n’être pas remplie, lorsque les fonctions linéaires P, Q, R sont prises arbitrairement; mais elle est toujours satisfaite, lorsque ces polynômes proviennent de la transformation d’une fonction du second degré d’après la méthode indiquée.

Remarque IL Supposons a et b positifs, c et k négatifs, l’équation (17) représentera un hyperboloïde à une nappe. Si l’on pose c= — ct, A = — A, , l’équation de la surface rapportée aux axes primitifs peut s’écrire

(19) aP* — c,R* = A, — 6QL

Les valeurs de x, y, s qui satisfont aux deux équations simultanées

9^ a-j-R*/ ct— x[y/ A‘,+Qy/ ô]j

dans lesquelles A désigne un paramètre arbitraire, vérifient l’équation (19), quel que soit X; or, pour chaque valeur de X, les équations (20) représentent une droite ; on a de la sorte un premier système de génératrices rectilignes de la surface. Les équations des génératrices du second système sont

( IV a-f Rv/ c,=[x|v^ A, — Qv/è],

570 — Lorsque le premier membre de l’équation se réduit à la forme (10), on reconnaît par la même transformation que la surface est un paraboloïde, elliptique ou hyperbolique suivant que «et b ont le même signe ou des signes contraires. Dans ce dernier cas, si l’on suppose a positif, b négatif et égal à — 6,, on voit que les deux systèmes de génératrices rectilignes sont définis par les équations

et

IV a — Q/ bi=ii,

Lorsque le premier membre se réduit à la forme (t 1), en prenant pour nouveaux plans des coordonnées les deux plans P=0, Q=0, et un troisième non parallèle à la rencontre des deux premiers, on voit que le lieu est un cylindre, elliptique ou hyperbolique. La forme (12) correspond au cylindre parabolique, et la forme (13) au système de deux plans parallèles.

Les formes (14), (15), (16) se ramènent aux précédentes; mais cette réduction n’est pas nécessaire. On voit directement que la formc(14) donne, un hyperboloïde à une nappe si c et k ont des signes contraires, un hyperboloïde à deux nappes s’ils ont le même signe. Dans le premier cas, soit c positif, k négatif et égal à — kt; les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont

Rt/c-J- l/A, = XP,

et

LTV. VI, CHAP. VL— DISGUS. DES ÉQUATIONS NUMÉR. 513

R Vc- i/A-, = u I>,

Rl/c-f i^=Û

JJL

La forme (15) correspond au paraboloïde hyperbolique; les génératrices rectilignes sont définies par les deux systèmes

et

Enfin la forme (16) donne un cylindre hyperbolique.

5T1— Dans ce qui précède nous avons supposé les axes rectangulaires; néanmoins, d’après la remarque du n» 565, les conclusions, auxquelles nous avons été conduits, subsistent encore, si les axes sont obliques. On pourrait, du reste, appliquer la même méthode de transformation de coordonnées, et l’on reconnaît sans peine que la formule

R=±a/ eosy' / ma-j- n*+p', doit être remplacée par la suivante

co s y

Y et Y étant les angles que la normale au plan R=0, fait avec les axes OZ et OZ'; il en résulte, comme dans le premier cas, R=Az', h étant une constante.

Exemple I.

Le premier membre de l’équation, ordonné par rapport à x, s’écrit

4aO-f-4 x (ÿ+2 z)-f-3y*+9 zsq-4y-{-8z + 9 , ou

(2*+y-|-2z) 1 — (y+2 z) >+3y ’-)-9 a’-(-4t/+8z+9 et, en faisant les réductions dans la seconde partie,

(2 x+y+2z) *+2 y «+5 z *— Ay s + 4 y +8 z+9.

La seconde partie, ordonnée par rapport à y, devient 2 y'—iy (z— l)45zs48z+9 =2 (y — z+i)’ — 2(z— 1)*+5z,48z49>

Enfin la dernière partie de ce nouveau polynôme est 3 z *4 1 2 z47 = 3 (*42) ’ — 5-

11 résulte de ce qui précède que' l’équation proposée peut se mettre sous la forme

Cette équation représente un ellipsoïde, et les trois plans définis par les équations

sont trois plans diamétraux conjugués de la surface. Ces plans

se coupent au point x = - , y = — 3, z = — 2, qui est le centre de la surface.

Exemple IL

4x’--t by’+l Ayz+Azx — 4 xy+4x — 34y + 24z — 1 8=0. On a successivement

4x’— t 5y’41 4yz+4zx — 4xy+4x — 34y42 4z — t 8 = 4x,+4x(z — y+1) — 1 5,y’-f 1 4 yz — 34y42*2 — 1 8 =(2x — y+z-f-1) ! — 1 6y ’41 Cyz — z’ — 3 2 y+22z — i 9 ; puis

et enfin

L’équation proposée prend la forme

(2x-y-i-z+t)’— 4(2 y— z+2)’+3(z-M)*— 6 = 0 ; elle représente un hyperboloïde à une nappe. Les équations des deux systèmes de génératrices rectilignes de la surface sont