LIV. VI, CH,VP. VII.— COND. POUR DÉFINIR UNE SURF

584 — Cherchons, comme application, Féquation du cône circonscrit à un ellipsoïde

et ayant pour sommet uu point donné P dont les coordonnées sont xt, yltzt.

L’équation du plan tangent à l’ellipsoïde au point x, y, z est ïX jï zZ , a'+b' + ?~ 1 = 0-

Pour que ce plan passe au point P, il faut que les coordonnées xi> Vu si vérifient la condition

(8 )?£ + *£ + ** a 1 b 5 cs

La courbe définie par les équations (7) et (8) est la courbe de contact du cône et de l’ellipsoïde ; l’équation générale des surfaces du second degré qui touchent l’ellipsoïde suivant cette courbe plane est

a* + 6*+c*' l + \Tf + + -°‘

Si l’on prend X de manière que l’équation précédente soit vérifiée par les coordonnées xl , yt, z , du point P, elle représentera le cône circonscrit, puisqu’il n’existe qu’une surface du second degré tangente à l’ellipsoïde suivant la courbe considérée et passant par un point donné; on obtient ainsi l’équation demandée

585 — On sait que l’élimination de z entre deux équations du second degré à trois inconnues x, y, z conduit, en général, à une équation du quatrième degré entre x et y. Ainsi, la ligne d’intersection de deux surfaces du second degré se projette généralement sur un plan suivant une courbe du quatrième degré. Certains cas font exception. Considérons deux surfaces du second degré qui ont le même plan diamétral pour une même série de cordes ; si l’on prend ce plan diamétral pour plan des

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

xy et une parallèle aux cordes pour axe des z, les équations des deux surfaces auront la forme

Az*-fP = 0, A'z‘+P'=0,

P et F désignant deux polynômes du second degré qui ne renferme que les deux variables x et y. L'élimination de z entre les deux équations précédentes, donne une équation du second degré