LIV. II, CIIAP. I.— LIGNE DROITE
et, dans celle de la seconde,
y MP sin MOP sin « sin a
° x — OP —sin OMP — sin (a — 9) sin(9 — a)’ on a donc, dans tous les cas.
bl
sm a
sin (0 — a)
Quand les axes sont rectangulaires, celte formule devient (4) long a =a.
La formule (4) détermine l’angle a, que fait avec l’axe OX la
droite proposée, quand les axes sont rectangulaires.
Quand les axes sont obliques, on déduit de la formule (3)
, asm 9
(5) (unga = —
Mais cette formule n’est pas calculable par logarithmes ; quand on veut obtenir l’angle a au moyen des tables, on a recours à une autre formule. L’équation (3) donne
sin i sin (9 — a) sin a + sin (9 — a) sin a — sin (9 — *)
si l’on transforme en produits la somme et la différence des sinus, il vient
d’où
'îsin-cosl a — -
2 cos-sin[*--')
(6) tang[*—-^
i=ï+ ïm"9î-
69— Lorsqu’on veut construire la droite représentée par une équation du premier degré à coefficients numériques, on cherche ordinairement les points A et B où elle coupe les axes, et on fait passer une droite par ces deux points.
Soit, par exemple, l’équation 2x — 3y=5; pour y =0, on ax=f ; pour a-=0, y—— * ; on portera, à partir de l’origine, sur l’axe des x, la longueur * dans le sens positif, sur l’axe desy la longueur | dans le sens négatif.
Quand l’équation ne renferme pas de terme constant, la
droile passe par l’origine. On en détermine un second point, en donnant à x une valeur particulière; soit, par exemple, l’équation 2 y+3x=r0; l’équation étant vérifiée pour x=0, y— 0, la droite passe par l’origine; si l’on faitx=2, on a yz= — 3 ; construisant le point qui a pour coordonnées x — 2, y=— 3, on obtiendra un second point que l’on joindra à l’origine.
63 — L’équation générale de la ligne droile
Ax -f- Bî/+ C — 0
renferme deux coefficients ou paramètres arbitraires; car on peut diviser l’équation par l’un des coefficients, et il restera les rapports des deux autres coefficients à celui par lequel on a. divisé. Quand on met l’équation sous la forme y=ax -f b, ces deux paramètres sont a et b. Pour fixer la position de la ligne droite dans le plan, il faudra donner les valeurs des deux paramètres, ou deux équations entre ces deux paramètres servant à déterminer leurs valeurs. Il faut donc deux conditions géométriques pour déterminer une ligne droite, en supposant que chaque condition s’exprime par une équation.
PROBLÈME I
64— Trouver l’équation générale des droites qui passent par un point donné.
Appelons x' et y' les coordonnées du point donné M. Une droite quelconque a pour équation
y—ax + b.
Pour que cette droite passe par le point M, il faut que les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la droite; si donc on remplace les coordonnées variables x et y par les coordonnées x7 et y1 du point M, on aura l’équation de condition
y' = ax' + b.
Cette relation entre les deux paramètres a et b détermine l’un des paramètres en fonction de l’autre, par exemple le paramètre b en fonction de a ; en remplaçant, dans l’équation de la droite, b par sa valeur y7 — ax' tirée de l’équation de condi-
