L1V. II, C1IAP.— LIGNE DROITE

PROBLÈME VIH.

74 — Trouver l'angle de deux droites.

Soient

y = ax + b, y = a'x-j-b',

les équations des deux droites données. Par l’origine etau-

dessus de l’axe X'X, menons des parallèles OA et OA7 aux droites données (üg. 46), et appelons a et a1 les angles ^ que font ces droites avec OX, V l’angle

de ces deux droites, et pour préciser,

supposons a! > a. On a évidemment 46- V=a' — a,

d’où

tanga' — tanga

J 1 + tanga tanga'

Quand les axes sont rectangulaires, ou a tanga— a , tanga'=a';

si l’on substitue dans la formule précédente, il vient

Quand les axes sont obliques, on a (n° 61) :

asin 0 a sin 0

tang tang a' =

et, par suite.

1+acosO

l-j-a'cosO’

, v (a'— a) sin 0

75 — On déduit facilement de là la condition pour que deux droites soient perpendiculaires entre elles. Quand l’angle V est droit, sa tangente devient infinie et l’on a la condition

(18) i-\-aa'—0,

si les axes sont rectangulaires, et la condition (19) l + aa -f(a+a/)cosO=0, si les axes sont obliques.

PROBLEME IX

?" O — D'un point donné abaisser une perpendiculaire sur une droite donnée, et trouver la longueur de cette perpendiculaire.

Soit

(2) y — ax + b

l’équation de la droite donnée AB, x' et y' les coordonnées du point donné M (flg. 47). Supposons d’abord les axes rectangulaires. Une droite quelconque passant par le point M a son équation de la forme (nu 64) y—ÿ = a {x—x).

Pour que cette droite soit perpendiculaire à la droite AB, il faut que la relation (n° 75)

l+aa'=0

soit vérifiée; d’où l’on déduit

En remplaçant a' par sa valeur, on obtient l’équation de la perpendiculaire MP

On trouvera les coordonnées a: et ÿ du pied P de la perpendiculaire, ou le poiutd’intersection des deux droites AB et MP, en résolvant les deux équations simultanées (2) et (20); mais nous préférons chercher les différences x — x' et y — y1 ; l’équation (2) peut être mise sous la forme

y-y'=a(x—x') — (ÿ—ax'—b); si dans cette équation on remplace y — yf par sa valeur donnée par l’équation (20), on trouve

„ ,a{yl—ax'—b)

00 OC I I - ■ 1 a

et, par suite, en vertu de l’équation (20),

, y' — ax'—b

L1V. Il, CHAI*. I. -LIGNE DROITE. 63

En appliquant la formule de la distance de deux points (n°55), on obtiendra la longueur l de la perpendiculaire MP,

d’où

y'—ax' — b ± / 1 -fa*

On mettra devant le radical le signe du numérateur, afin d’avoir pour l une longueur positive. Il est aisé de voir que ce numérateur est positif ou négatif, suivant que le point M est situé au-dessus ou au-dessous de la droite AB. En effet, soit N le point où la droite AB est rencontrée par la parallèle à Taxe des y menée par le point M ; le point N étant sur la droite AB, l’ordonnée y, de ce point est égale à ax' -f- b, de sorte que la formule (21) devient

/= y'~Vi ± / 1 -f-a’

La différence y1 — y, est positive si le point M est au-dessus pe N, négative s’il est au-dessous.

On aurait pu obtenir immédiatement la longueur de la perpendiculaire sous cette dernière forme, en remarquant que le triangle rectangle MNP donne

MP= MN sin MNP=± (y— y,) cos <* = —

± v'i-fa** •

y y —Supposons maintenant les coordonnées obliques; les droites AB et MP seront perpendiculaires si leurs coefficients angulaires a et a' vérifient la relation

1 + aa' -f (a -f a') cos 0=0,

d’où l’on déduit