LIV. II, CIIAP. II.— DU CERCLE

xy des variables, et dans laquelle les termes en x* et en y* ont même coefficient.

85— Réciproquement, tonie équation de cette forme en coordonnées rectangulaires représente une circonférence de cercle, quand elle représente un lieu. En effet, l’équation (2) peut s’écrire.

f . . by a' + b'

\x +l) + O'+aJ - ï c>

Marquons le point C, qui a pour coordonnées

supposons le second membre positif; le premier membre représentant le carré de la distance d’un point quelconque au point C, l’équation sera vérifiée parles coordonnées de tous les points du plan dont la distance au point C est constante et égale à

c; elle représente donc une circonférence de

cercle. Lorsque le second membre est nul, le premier membre, qui est la somme de deux carrés, ne pouvant s’annuler que si

chacun des carrés est nul, ce qui exige que l’on ait ar= — y=—^, l’équation ne sera vérifiée que par les coordonnées du

point G ; le lieu est un point. Enfin , lorsque le second membre est négatif, il est évident que l’équation ne représente aucun lieu; elle ne peut être vérifiée par aucun système de valeurs réelles de a; et de y, c’est-à-dire par aucun point du plan; car la somme de deux carrés ne peut être égale à une quantité négative.

86— Supposons maintenant les axes des coordonnées obliques et faisant entre eux l’angle 6; en exprimant que la distance d’un point quelconque du lieu au centre est égale au rayon, on aura l’équation de la circonférence

GÉOMÉTRIE ANATYTIQUE.

(3) (æ— «)* + (y— W + 2 (* — “)(y— P)cos0=r\

Cette équation est de la forme

(4) x'-\-y't + 'ïxycos 0 + ax + 6y + c=0.

Ainsi l’équation du cercle en coordonnées obliques est une équation du second degré, dans laquelle les termes en x1 et en y* ont pour coefficients l’unité, et le terme en xy deux fois le cosinus de l’angle des axes.

8T — Réciproquement, toute équation de cette forme représente une circonférence du cercle, quand elle représente un lieu. En effet, on peut déterminer les trois constantes a, p, r\ de manière à identifier les équations (3) et (4). L’équation (3), développée, s’écrit

* 1 + y* + 2 XU cos 0 — - (“ + P cos û) x — 2|p -faeosO ) y + (a>-)-pI-)-2ap cos 0 — r*)=0.

On identifiera cette équation à l’équation (4) en posant

«+p«wO=—

P+aCOSÔ=— -,

a, + P*+2“pcos 0 — r*=c.

Les deux premières relations donnent pour a et p des valeurs finies, puisque le dénominateur i — cos'Q ou sin *0est différent de zéro. La troisième donne

r’=a!4- P’ + 2 a p cos 0 — c.

Marquons le point C, qui a pour coordonnées a. et p. Le premier membre de l'équation (3) représente le carré de la distance d’un point quelconque M au point C. Si l’on trouve pour r* une quantité positive, l’équation sera vérifiée par les coordonnées de tous les points du plan distants du point C de la longueur r; elle représente donc une circonférence de cercle. Si l’on trouve pour r‘une quantité nulle, la distance MC devant être nulle, l’équation ne sera vérifiée que par les coordonnées du point C; elle représente un seul point. Enfin, si l’on trouve par r* une quantité négative, l’équation n’est vérifiée paraucun système de valeurs réelles de x et y, ou par les coordonnées