LIV. II, CHAP. II.— DU CERCLE

d’aucun point du plan ; car le carré de la distance d’un point au point C ne peut être égal «à une quantité négative.

Au lieu de déterminer le centre C du cercle par ses coordonnées a et fi, il est plus commode de le déterminer par les projections orthogonales de la droite OC sur les deux axes. Appelons a' et p' ces deux projections OD et OE (flg. 50), prises avec le signe convenable, et exprimons que la projection de la droite OC sur l’un ou l’autre axe est égale à celle de la ligne brisée OPC ou OQC; nous aurons

oc' = a-j- p COS 0 , p' = p-|-a COSÔ;

il en résulte

Après avoir porté sur les axes à partir de l’origine les longueurs a' et p', on élèvera par les points D et E des perpendiculaires aux axes; l’intersection des deux perpendiculaires déterminera le centre C.

PROBLÈME i.

88 — Trouver l’équation de la tangente à une courbe quel-

Nous avons défini (n°27)de cette manière la tangente à une courbe quelconque (flg. 51) : si l’on fait tourner autour du point M une sécante MM' de manière à ce que le point M'se rapproche indéfiniment p p' 1 du point M, la sécante tend vers Fie- 5I- une position limite MT; cette droite

MT est dite tangente à la courbe au point M.

Soient x et y les coordonnées du point de contact M, x+h et y+A celles du point voisin M'; la sécante MM' a pour coeffik

cient angulaire—, le rapport de la différence des ordonnées à

la différence des abscisses. Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les deux accroissements A et A tendent simultanément vers zéro, et le coefficient angulaire de la tan-

genteest égal à la limite du rapport c’est-à-dire à la dérivée

de l’ordonnée considérée comme une fonction de l’abscisse.

Si l'équation de la courbe est résolue par rapport à y et mise sous la forme y=f (x); la tangente aura pour coefficient angulaire yt=f (x). Lorsque l’équation de la courbe [(x, y)—0 n’est pas résolue, on obtient la dérivée y' de la fonction implicite y à l’aide de l’équation

f-+ÿr,=0,

dans laquelle f et fv désignent les dérivées partielles de la fonction f{x,y) par rapport à x ou par rapport à y. On en déduit

PROBLÈME II

89— Trouver Viqualion de la tangente au cercle.

Appliquons la formule precedente au cercle, et, pour simplilier, supposons les axes rectangulaires et l’origine des coordonnées placés au centre du cercle; le cercle a pour équation

Si l’on résout par rapport à y, l’équation devient y=±\/ri — X1;

en prenant la dérivée de cette fonction, on a

± i/rj— x* — y

En conservant l’équation non résolue et appliquant la formule (5), on obtient la même valeur

Le rayon qui va du centre au point de contact ayant pour

coefficient angulaire -, on voit que la tangente est perpendicu-

laire au rayon.

Dans ce qui suit, nous désignerons par x et y les coordon-