LIV. II, CIIAP. II.— DU CERCLE

nées du point de contact M, et par X et Y les coordonnées variables d’un point quelconque delà tangente. La tangente,

ayant pour coefficient angulaire — — et passant par le point M, est représentée par l’équalion

que l’on peut mettre sous la forme

xX+yY=a:,+y*.

Puisque le point M est sur le cercle, ses.coordonnées vérifient l’équation du cercle, et l’on a

x1 + y' = rx.

L’équation de la tangente devient ainsi (7) '^-/ÿY=r‘.

PROBLÈME III

90 — Mener une tangente au cercle par un point extérieur P. Supposons toujours le cercle rapporté à deux axes rectangulaires menés par le centre, et représenté par l’équation

Désignons par xt et y, les coordonnées . du point donné P (fig. 52). Soit PM une tangente menée par le point P; la question revient à déterminer le point de contact M, dont nous appellerons x et y les coordonnées inconnues. Le point M étant sur le cercle, ses coordonnées vérifient l'équation (6). La tangente au point M a pour équation

xX + yY=r*.

Cette tangente passant par le point P, son équation doit être vérifiée par les coordonnées de ce point, ce qui donne la seconde équation

(8) xx.-fyy ,=*•*.

En résolvant ces deux équations simultanées, on obtiendrait les valeurs des inconnues x et y.

Fig . 52.

La résolution des deux équations (6) et (8) revient à chercher les points d’intersection de deux lignes. La première équation représente le cercle proposé; la seconde une ligne droite. Chercher les valeurs de a; et de y qui vérifient à la fois ces deux équations, c’est chercher les points d’intersection de la droite et du cercle. Cette droite MM' coupe le cercle en deux points M et M'; c’est la droite des contacts. L’équation (8) de la droite des contacts a même forme que l’équation (7) de la tangente; seulement, les coordonnées du point de contact sont remplacées par celles du point P.

91— On sait que, lorsqu’on a deux équations simultanées

à deux inconnues x et y, si l’on remplace l une d’elles par l’équation mA-|-nB=0, que l’on obtient en ajoutant membre à membre les deux équations proposées, après les avoir multipliées par des nombres arbitraires m et n, on forme un nouveau système d’équations

mA-f-nB=0,

équivalent au système proposé. Cela signifie géométriquement que les points d’intersection des deux lignes représentées par les deux équations proposées sont les mêmes que les points d’intersection de l’une d’elles par la troisième ligne.

Nous avons dit que les points de coutact M et M' sont donnés par l’intersection du cercle proposé et de la droite des contacts. En retranchant les deux équations (6) et (8) membre à membre, on obtient la nouvelle équation

x' + yi—xlx—y,y= 0,

qui peut remplacer l’équation (8) ; celte nouvelle équation représente le cercle décrit sur la droite OP comme diamètre;