LIV. II, CIIAP. II. — DU CERCLE
les points où ce cercle coupe le cercle proposé sont les points de contact. On retrouve ainsi la construction de la géométrie élémentaire.
PROBLÈME IV
02 — Mener une tangente parallèle à une droite donnée. Au cercle
on veut mener une tangente parallèle a la droite
Fig. 53.
y=mx ,
que l’on peut supposer passant par l’origine (fig. 53). Si l'on désigne par x el y les cçordonnées du point de contact M, on sait que le coefficient angulaire de la
OC
\T tangente est égal à — - ; pour que la tangente MT soit parallèle à la droite donnée, il faut que son coefficient angulaire soit égal à m; on aura donc la condition
D’ailleurs les coordonnées du point M vérifient l’équation du cercle. Ces coordonnées seront donc déterminées par les deux équations simultanées (6) et (9), et par conséquent les points de contact M et M' seront donnés par l’intersection du cercle et de la droite que représente l’équation (9); cette droite MM' est un diamètre perpendiculaire à la droite donnée OA.
93— On peut traiter la question d’une autre manière, et ceci nous fournira l’occasion de présenter l’équation de la tangente au cercle sous une nouvelle forme.
Proposons-nous d’abord de cberclier les points d’intersection d’un cercle
xt-\-y,=r*
et d’une droite quelconque
y=mx + k.
En éliminant y, on obtient l’équation du second degré
x'-f- (mi + ij!=r!,
ou
Quand cette équation a ses racines réelles, la droite coupe le cercle en deux points dont les abscisses sont les racines de cette équation. Si les racines deviennent égales entre elles, les deux points d’intersection se confondent, et la sécante devient tangente au cercle. Enfin, quand les racines sont imaginaires, la droite ne rencontre pas le cercle.
Ainsi, la condition pour que la droite soit tangente au cercle
6St *
m'k'— (m* + 1)(&* — r*)=0, ou
L’équation de la droite, dans laquelle on remplace k par sa valeur, devient
(tO) y~mx±r l/r»’ + I ;
Cette équation, qui renferme un paramètre arbitraire m, représente toutes les tangentes au cercle.
Si l’on donne la direction de la tangente, le coefficient angulaire m étant connu, on a immédiatement les équations des deux tangentes parallèles à la direction donnée.
problème v.
94 — Trouver le lieu des points dont les distances à deux points fixes soient entre elles dans un rapport donné.
Soient A et B les deux points donnés (fig. 54); prenons pour axes des x la droite AB et pour axe des
y la perpendiculaire élevée sur
h x le milieu de AB. Si l’on appelle 2 a
la distance AB, ™ le rapport donné,
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et si l’on désigne par x et y les coordonnées d’un point quelconque du lieu, ce lieu aura pour équation
y* + (x + a)t mt
y'+{x-a)' n* ’ ou
TTV ^ I ®
(H) x*+y' — 2 ax i-fa’czO.
C'est un cercle dont le centre est situé sur l'axe des x ; les deux extrémités du diamètre DE sont les points qui divisent la droite AB dans le rapport de ni à w.
PROBLÈME vi.
95 — Trouver les points d’ intersection de deux cercles. Soient
x* + y* -f ax -f by + c=0 , x1 + y' + ax + iy y -fc' =0
les équations des deux cercles en coordonnées rectangulaires. Les points d’intersection seront donnés par ces deux équations simultanées. On peut remplacer le second cercle par la droite (12) (a— a')x + (6 — b')y + (c— &)=0,
que l’on obtient en retranchant ces équations membre à membre, et la question est ramenée à chercher les (joints d’intersection du premier cercle par cette droite. Si la droite coupe le cercle, les deux cercles auront deux points d'intersection, et l'équation (12) représentera la sécante commune. Si la droite devient tangente au cercle, les deux points d’intersection se confondent, et les deux cercles sont tangents; l’équation (12) représente dans ce cas la tangente commune. Enfin, lorsque la droite ne rencontre pas le cercle, les deux cercles n’ont pas de point commun.
90— Cependant l’équation (12) a, dans tous les cas, une signification géométrique qu’il est bon de remarquer.
Les équations des deux cercles peuvent être mises sous la forme :
D’nn point extérieur quelconque P menons aux cercles des tangentes PM, PM'; on a
PM =PC — Cm’ = (x — *)* + (*/ — P)’ — r«,
P»T ’^PC7’— rsï'=(x~ «0 * + (y — p') r'1; les premiers membres des équations des cercles, dans lesquelles x et y sont quelconques, représentent les carrés des longueurs des tangentes PM et PM', menées d’un point P du plan. Or, en égalant à zéro la différence, on écrit que ces deux carrés sont égaux entre eux, et par conséquent que les deux tangentes PM et PM' sont égales. Ainsi, l’équation (12) obtenue de cette manière représente le lieu des points d’où les tangentes menées aux deux cercles sont égales entre elles. Celte droite est ce qu’on appelle l’axe radical des deux cercles.
97 — Étant donnés trois cercles
xt+y'-\-ax + by + c=0, x* -\-y* -\-a'x-\-by-\-c'—0, x*+ y* + a" x + b>' y + d'= O,
les axes radicaux des cercles combinés deux à deux ont pour équation
(ar — a)x-|- (b" — b)y + &' — c) = 0.
La troisième équation étant une combinaison des deux autres, il en résulte que les trois axes radicaux passent par un même point.
