CHAPITRE III

Lieux géométriques.

98— Soient

(2) FI(x,y,a)=0,

deux équations renfermant une constanle ou paramètre arbi-

L1V. Il, CHAP. III. — LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 79

traire a. Si l’on attribue à ce paramètre une valeur particu- • , . Hère, on obtient deux lignes A et B qui

»• / I [/* se coupent en un point M. dont les coor-

données x et y vérifient les deux équa-

* lions simultanées (13 et (23* Si 1 on at— i tribue au paramètre a une autre valeur

\B, a', les deux lignes occuperont les posi-

tions A', B' et le point d’intersection

'e ' viendra en M'; une troisième valeur a!'

attribuée au paramètre donnera les deux lignes A", B" et le point d’intersection M", et ainsi de suite. Concevons que l’on fasse varier le paramètre a d’une manière continue, les deux lignes A et B se déplaceront dans le plan d’une manière continue et le point d’intersection M décrira une ligue PQ. Cette ligne PQ est ce qu’on appelle le lieu du point d’intersection des lignes variables A et B.

On obtiendra l’équation de la ligne PQ, lieu du point M, en éliminant le paramètre a entre les deux équations (1) et (2). En effet, éliminer a entre les deux équations (1) et (2), c’est trouver une équation

ne renfermant plus la lettre a , et telle que , si l’on remplace l’une des deux équations proposées, par exemple l’équation (2), par l’équation (3), le système des deux équations (t) et (3) soit équivalent au système des deux équations (1) et (2). On dit que deux systèmes d’équations sont équivalents, lorsqu’ils sont vérifiés par les mêmes valeurs attribuées aux lettres. Quand on attribue à a une valeur particulière, les coordonnées x et y du point M, jointes à cette valeur de a, forment un système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant à la fois les deux équations (i) et (2); puisque le système des équations (1) et (3) est équivalent au précédent, ces valeurs vérifient aussi l’équation (3); cette dernière équation, ne renfermant pas a, est vérifiée par les coordonnées de l’un quelconque des points du lieu. Ainsi l’équation (3) représente une ligne fixe sur laquelle se meut le point M, quand on fait varier le paramètre o.

Réciproquement, (oui point M, dont les coordonnées x et y vérifient l’équation (3), appartient au lieu. Car, si l’on détermine la valeur de a qui vérifie l’équation (t), dans laquelle on attribue à a: et y les valeurs précédentes, on obtient uu système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant le système des équations (t) et (3). Le système des équations (1) et (2) étant équivalent à celui-là, l’équation (2) sera vérifiée par les mêmes valeurs; on obtiendra ainsi deux lignes A et B passant par le point M.

11 peut arriver cependant qu’à un système de valeurs réelles de a: et de y vérifiant l’équation (3) corresponde une valeur de a, pour laquelle les équations (1) et (2) ne représentent pas de lignes, c’est ce qui aurait lieu, par exemple, si la valeur a était imaginaire. Mais, dans tous les cas, les valeurs de a; et y satisferont aux deux équations (1) et (2).

99— Considérons maintenant deux équations

renfermant deux paramètres variables a et b , liés entre eux par l’équation

Si l’on attribue au paramètre a une valeur particulière, l’équation (b) détermine une valeur correspondante de b, et les deux équalions (4) et (3) représentent deux lignes A et B se coupant au point M. Le paramètre a variant d’une manière continue, le paramètre b variera aussi d’une manière conlinue, ainsi que les deux lignes A et B, et le point d’intersection M décrira une ligne PQ.

On obtiendra l’équation de cette ligne en éliminant les deux paramètres a et 6 entre les trois équations (4), (3), (6). En effet, éliminer a et 6 entre ces trois équations, c’est trouver une équation

ne renfermant plus a et b , et qui, jointe aux deux équalions (4) et (5), forme uu système équivalent au système des trois