LIV. H, CHAP. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES

équations proposées. Quand on attribue à a et b des valeurs vérifiant l’équation (6), les coordonnées x et y du point M, jointes à ces valeurs de a et de b, forment un système de valeurs des quatre quantités x, y , a, b vérifiant à la fois les trois équations (4), (5), (6). Puisque le système des trois équations (4), (5), (7) est équivalent au système précédent, ces valeurs vérifient aussi l’équation (7); cette dernière équation, étant indépendante de a et de b, est vérifiée par les coordonnées x et y de tous les points du lieu. Réciproquement, tout point M dont les coordonnées x et y vérifient l’équation (7), appartient au lieu ; car, si l’on détermine les valeurs de a et de b qui vérifien l les deux équations (4) et (5), dans lesquelles on attribue à x et à y les valeurs précédentes, on obtient un système de valeurs des quatre quantités x, y, a, b vérifiant le système des trois équations (4), (5), (7). Le système des trois équations (4), (5), (6) étant équivalent à celui-la, l’équation (6) sera aussi vérifiée, et l’on aura deux lignes A et B passant par le point M.

— 11 est facile de généraliser ce qui précède. Supposons que les deux équations

renferment n paramètres variables a, b, c, , h, liés entre

eux par n — I équations de condition

Si l’on attribue au paramètre a une valeur particulière, les valeurs correspondantes des n— 1 autres paramètres sont déterminées par les n— t équations (iO), et les deux équations (8) et(9j représentent deux lignes A et B se coupant en un pointM. Quand on fait varier le paramètre a, les autres varient simultanément, et le point M décrit un lieu. On obtient l’équation de br. 6

ce lieu en éliminant les n paramètres entre les n-f-1 équations (8), (9), (10).

ÎOI — Nous avons supposé que les deux paramètres variables a et b contenus dans les équations (i) et(5) sont liés par une équation de condition (6). Si ces deux paramètres étaient liés par deux équations de condition , leurs valeurs seraient déterminées par ces deux équations, les deux courbes A et B seraient fixes, ainsi que le point M, et il n’y aurait pas de lieu. Si, au contraire, les deux paramètres n 'étaient liés par aucune relation, on pourrait leur attribuer des valeurs telles que les deux courbes A et B se coupassent en un point dopné à volonté dans le plan, elle point M décrirait tout le plan.

En général, quand les équations des deux lignes A et B renferment n paramètres variables, il faut, pour que le point d’intersection décrive un lieu, c’est-à-dire une ligne, que ces n paramètres soient liés par n — 1 équations de condition. Ces n — 1 équations de condition, avec les équations des deux lignes A et B, forment de la sorte un système de »+ i équations, renfermant n-(-2 quantités variables a, by c h , x, y, dont une

seule est arbitraire. Si le nombre des équations de condition n’était que n— 2, ces équations, avec les deux équations des lignes A et B, formeraient un système de n équations entre n-f-2 quantités variables; deux quelconques de ces quantités, par exemple x et y, pourraient être prises à volonté.

Il peut arriver que les deux lignes variables A et B se coupent en plusieurs points; le calcul précédent donne le lieu décrit par l’ensemble de ces points.

problème i.

Fig. 56.

402 — Étant donnés un angle XOY et un point fixe P dans le plan (fig. 56), par le point P on mène une sécante fixe PBA et une sécante mobile Pl)E, on mène les droites AD, BC; trouver le lieu de leur point de rencontre M.