LIV. H, CHAP. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Prenons les droites OX et OY pour axes des coordonnées, et désignons par x, et y, les coordonnées du point P. La sécante fixe PBA aura une équation de la forme y—y, = a (x—x,),

dans laquelle le paramètre a a une valeur constante. De même la sécante mobile PDC sera représentée par l’équation y— y, = m (x — X,),

dans laquelle m désigne un paramètre variable. Si, dans chacune de ces équations, on fait successivement y= 0, x=0, on obtient les coordonnées des points où ces droites rencontrent les axes des coordonnées,

y—axt,

y=y , — mor,.

En appliquant la formule du n<* 67, on a les équations des droites AD, CB,

y,— mx, y—ax.

Les valeurs de x et y, qui vérilient les deux équations simultanées (1) et (2), sont les coordonnées du point d’intersection M des deux droites AD et BC;ces coordonnées varient avec le paramètre arbitraire »n. Si l’on retranche les deux équations membre à membre, on obtient l'équation

x (— * î— UJ— i i w

Vÿ,— nu, y,— axj \y, — mx, y,—axj ou plus simplement

(ytx+ xly) = 0

(yt— fflij (y,— axt) qui, jointe à l’équatiou (i), forme un système équivalent au

système des deux équations (1) et (2). Tant que le paramètre ni a une valeur différente de a, le premier facteur étant différent de zéro, les coordonnées x et y du point M doivent annuler le second facteur. Ainsi, les coordonnées de tous les points du lieu vérifient l’équation

y, x+xty = 0, ou

Ce lieu est une droite OL passant par l’origine.

Quand m=a, le système des deux équations (1) et (2) se réduit à l’équation (t); les deux droites coïncident et leur point d’intersection est un point quelconque de la sécante fixe PA.

Si l’on avait fait l’élimination d’une autre manière, si l’on avait, par exemple, tiré la valeur de m de l’équation (1) pour la porter dans l’équation (2), on aurait obtenu une équation du second degré, dont le premier membre serait décomposable en deux facteurs du premier degré et qui, par conséquent, représenterait deux droites, le lieu OL et la droite PA. Cette équation serait '

(ytx + xty) [y—yl — a(x-xl))=Q.

On voit que l’équation (4) ne contient pas le paramètre constant a ; il en résulte que le lieu est indépendant de la position particulière attribuée à la sécante fixe PA. On en conclut le théorème suivant : Étant donnés un angle XOY et un point fixe P dans son plan, si, par le point P, on mène deux sécantes quelconques PA, PC, le point de rencontre M des deux droites AO et BC est toujours situé sur une même droite OL.

Nous remarquons encore que l’équation (4) ne dépend que

du rapport —, c’est-à-dire du coefficient angulaire de la droite

OP. Ainsi le lieu OL restera le même, si l’on déplace le point P sur la droite OP passant à l’origine.

LIY. Il, CHAP. III —LIEUX GÉOMÉTRIQUES. 85

PROBLÈME n.

103— Les côtés d'un triangle variable ABC tournent autour de trois points fûtes P, P’, P", placés en ligne droite, tandis que

deux des sommets A et B glissent sur deux droites fixes ID et IE; trouver le lieu décrit par le troisième sommet C (fi g. 57).

Prenons pour axe des x la droite des pivots P P' P7, et pour axe des y une droite quelconque menée par le point P.

Soient p' et p" les abscisses des

points F et F7,

(1) ÿ + aa- + a=:0,

(2) y+ bx + p=0

les équations des droites fixes IA, IB. Pour construire une position particulière de la figure variable, on peut mener par le point P une droite arbitraire PAB, puis joindre les points A et B respectivement aux points P' et P". Nous prendrons pour variable arbitraire le coefficient d’inclinaison m de la droite PAB ; l’équation de cette droite sera alors

(3) y — ma r=0.

La droite AP', passant par le point de rencontre des droites (1) et (3), est représentée par une équation de la forme ( y—mx ) + X(y+aa;-f «) = 0;

on détermine X en exprimant que cette droite passe par le point F, c’est-à-dire que son équation est vérifiée par x=p',

y= 0; il en résulte X=— ■ ; par suite l’équation de la droite AF est

(4) ÿ— mx+Jj— [y+ aj + «)=0.

L’équation de BP" se déduit de la précédente par le changement de p' en p11, de a en b et de a en p, ce qui donne

(*) y—mx + -fjpi qpp (y + *>* + P) = °.

Les valeurs de x et de y qui vérifient simultanément les équations (4) et (5) sont les coordonnées du point C, coordonnées qui dépendent de la variable arbitraire m. Si l'on retranche membre à membre les deux équations (4) et (a), on obtient l'équation

p'{y + ax+*) p" (y + bx +$-]„

L a/>r+« bj/'+p J“u

qui, jointe à l'équation (i], forme un système équivalent au système des deux équations (4) et (5). Tant que m est différent de zéro, les coordonnées x et y du point M doivent annuler le second facteur. Ainsi les coordonnées de tous les points du lieu vérifient l’équation

p'(y + a* + a) __ iHy+to + P)

ap' + a bp" + p

Ce lieu est une droite; l’équation (7) étant vérifiée par les valeurs de a; et y qui satisfont à la fois aux équations (1) et (2), on en conclut que cette droite passe par le point de concours 1 des deux droites données IA et IB.

Quand m—0, les deux équations (4) et (5) se confondent, les deux droites AP' et BP" coïncident et leur point d’intersection est un point quelconque de la droite PP'. Faisant l’élimination d’une autre manière , on aurait obtenu l’équation du second degré

[p'(y+ax + *) P"(y + bx+ft~\n 7 L ap' + « bp" + p ’

représentant à la fois le lieu IC et la droite PP'.

104 — Corollaire I. On déduit de ce qui précède la solution de ce problème : Inscrire dans un triangle IDE un second triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés P, P', P'' en ligne droite. Si l’on conçoit un triangle variable dont les côtés soient assujettis à passer parles points P, P', P", tandis que deux des sommets A et B glissent sur les droites ID, 1E, le lieu du troisième sommet C est une droite IC. Le point de rencontre C, des droites IC et DE est donc l’un des sommets du triangle cherché; les droites C,P', G,P" donnent