LIV. Il, chap. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES

les deux autres sommets A, et B,. Il est à remarquer que celle solution n’exige aucun autre instrument que la règle.

405 — Corollaire 11. On peut aisément généraliser le problème précédent. Considérons un quadrilatère dont les quatre

côtés pivotent autour de quatre points fixes P,F,F,F situés en ligne droite, tandis que trois sommets A, B, C glissent sur trois droites fixes R, S, T ; et proposons de chercher le lieu décrit par le quatrième sommet (fig. 58).

Les trois côtés du r,B- 8!- triangle BCE pivotent

autour des trois points fixes P, P", P"', tandis que deux sommets B et C glissent sur les droites fixes S et T; le sommet E décrit donc une droite EF. D’après cela les trois côtés du triangle AED pivotent autour des trois points fixes P, P', P'', tandis que deux sommets A et E glissent sur les deux droites R et EF ; le sommet D décrit donc une ligne droite.

Du quadrilatère on passera de la même manière au pentagône. Ainsi, quand les n côtés d’un polygone pivotent autour des n points fixes situés en ligne droite, tandis que n — t sommets glissent sur n — 1 droites fixes, le n‘ sommet décrit une ligne droite.

On en déduit le moyen d’inscrire dans un polygone de n côtés un autre polygone de n côtés passant respectivement par n points fixes en ligne droite.

PROBLÈME III

406 — Etant donnèun triangle ABA' , par un point fixe 0 pris sur un côté AA', on mène une sécante mobile OCC', on fait passer un premier cercle par les trois points OAC et un second cercle

/fi

par les trois points OA'C' ; trouver le lieu du point d’intersection M de ces deux cercles (fig. 59).

Prenous la droite OA' pour axe des x et une perpendiculaire OY menée par le point O pour axe des y.

En appelant a. et a! les abscisses des x points A et A', les deux droites fixes AB, A'B seront représentées par les équations

Fig. 59. (i) y~a(x — a),

et la sécante mobile OC par l'équation

(3) y=mx,

dans laquelle m désigne un paramètre variable. On obtient les coordonnées du point C en résolvant les deux équations simultanées (I) et (3), ce qui donne

aa n» a a

Tout cercle passant par les deux points O et A a une équation de la forme

«*+y8— *x— Py=o,

dans laquelle le paramètre p est arbitraire. On détermine ce paramètre en exprimant que le cercle passe par le point C, ce qui donne

a(am-H).

le cercle qui passe par les trois points 0,A,C a donc pour équation

a (arn + 1)

(4) — ax-

Si, dans cette équation, on remplace a et a par a' et a1, on obtiendra évidemment l’équation du cercle qui passe par les trois points O, A', C',

Pour avoir l’équation du lieu du point d’intersection M des