LIV. Il, CHAI*. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES. Kvi
deux cercles, il faut éliminer le paramètre variable m entre les deux équations (4) et (5). En égalant les valeurs de m tirées des équations (4) et (o), on obtient l’équation
— <w) — a y a'(xt-\-yi — a'x) — a 'y
(x*-\-y* -o.r)+aay (x*+y'— a'x)-\-a'at‘y ’
qui, mise sous forme entière, s’écrit
(a — a') [(.T'-j-ÿ* — a.r) (x* -{-//’ — a'.rj-l-aa'//»]
-f- (t -\-aa')y [a'fjr’+t/1 — a.r) — a (,r*-f //'— a’.r) 1=0, ou
(a— a') [(«*+»’)*— («+«/)af(a!*4-y,)+a*/(*,+y*)]
+ (t + aa/) (a'— a)y(x,+y,)=0; en mettant x’ + .y’en facteur commun, et divisant par a — a' , on a l’équation
(6) (x’+ÿ1) lx*+y* — (a-fa;).r— ■ * y -f- 8^1 = 0.
Cette équation se décompose en deux ; l’une,
donne le point 0 oii se coupent toujours les deux cercles mobiles; l’autre
(7) (Æ’ + ÿ*) — (a + a')3--^ a-ÿ+ag/= 0
est l’équation du lieu du point M. Ce lieu est un cercle.
On reconnaît à priori que les trois points B, A, A' appartiennent au lieu. Car, si la sécante mobile passe par le point B, les deux cercles se coupent en B; ce point fait partie du lieu. Supposons que la sécante devienne parallèle à la droite A'B, le point C' s’éloignant à l’infini, le second cercle coïncide avec la droite OA', qui coupe en A le premier cercle ; on obtient de même le point A', quand la sécante devient parallèle à AB. Il est d’ailleurs facile de vérifier sur l’équation (7) que le lieu passe par les trois points B, A, A'. Ainsi le lieu demandé est le cercle circonscrit au triangle ABA'.
PROBLÈME IV
107 — Étant donnés un cercle et un point fixe P à l’intérieur du cercle, autour du point P on fait tourner un angle droit
90 GÉOMÉTKIE ANALYTIQUE.
APB ; on joint par une droite les deux points A et B, où les côtés de l’angle droit rencontrent le cercle, et on abaisse du point P une perpendiculaire PM sur la droite AB; trouver le lieu du pied M de la perpendiculaire (fig. 60).
Prenons pour axe des x le diamètre OP, pour axe des y un diamètre perpendiculaire; le cercle donné est re- FiB. 60. présenté par l’équation
Soit
(2) y= ax+b
l’équation de la sécante AB. Si l’on élimine y entre les deux équations (1) et (2), on obtient une équation du second degré (3) (l+o*)a;,-(-2a6x-f b*— r’=0, dont les racines sont les abscisses x' et x" des points A et B; les ordonnées y' et y" auront pour valeurs ax'+b, ax"-\-b. Si l’on appelle a la longueur constante OP, les deux droites PA, PB ont pour coefficients angulaires
OU
ax'-t-b axf' + b'
l’angle APB étant droit, on a la condition (a.r'-f-6) (ax"-\-b)
(x'—ül) [x/' — a) ’
qui s’écrit
(t+a'iarV'-Hat) — a) (a/+Æ//) + ^* + a,=0; si l’on remplace x'-\-x" et x/x" par leurs valeurs tirées de l’équation (3), cette équation devient
(4) |l+o*)(a‘— r*)+26(aa+6)=0.
Telle est la relation qui existe entre les deux paramètres va-
riables a et b.
La perpendiculaire PM, abaissée du point P sur la droite AB, a pour équation
