LIV. II, CHAP. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Le point M est défini par les équations (2) et (5), dans lesquelles les paramètres variables a et 6 satisfont à l’équation (4) ; on obtient l’équation du lieu du point M en éliminant ces deux - paramètres entre les trois équations (2), (4), (5). De l’équation (5) on tire

de l’équation (2) on déduit ensuite

En portant ces valeurs dans l’équation (4), on obtient l’équation

Cette équation se décompose en deux; l’une y* + (*«)*=0 donne le point P; l’autre

représente le lieu cherché.

Il est évident que le point P n’appartient pas au lieu géométrique tel qu’on l’a défini; mais il est facile de comprendre comment l'analyse l’introduit dans le résultat. Les coordonnées x=a, y=0 du point P vérifient l’équation (5), quels que soient les paramètres; on pourra donc déduire des deux équations (2) et (4) des valeurs correspondantes des deux paramètres a

et b; on trouve ainsi a=±\/ — 1,6= — a a. C’est une application de la remarque faite au n° 98.

L’équation (7) montre que le lieu est un cercle ayant son centre sur la droite OP. Pour le construire, il suffit de déterminer les deux extrémités du diamètre CD; si l’on mène des droites AH', BA' faisantdes angles de 45" avec le diamètre OP, les cordes AA', BB', étant perpendiculaires sur ce diamètre, donneront les deux points C et D.

408 — Remarque. La circonstance que nous venonsde signaler se présentera toutes les fois que l’une des deux courbes variablesAet B, dontl’intersection donne un point M du lieu(n''98).

passera par un point fixe P. En effet, supposons que les équations des deux lignes contiennent n paramètres variables liés entre eux par n — 1 relations; si les coordonnées xt et y, d’un point fixe P satisfont à l’équation de la ligne A, quelles que soient les valeurs des paramètres, en remplaçant x et y par x, et y, dans l’équation de la ligne B, on aura une équation qui, jointe aux n— 1 équations de condition entre les paramètres, formera un système de r» équations pour déterminer les valeurs de ces paramètres. Ce point P sera étranger au lieu géométrique, si aux valeurs trouvées ne correspondent pas de lignes.

PROBLÈME V

ÏO® — Trouver le lieu des points tels que les perpendiculaires abaissées de chacun d’eux sur les trois côtés d'un triangle ABC soient en ligne droite.

Supposons la figure rapportée à deux axes rectangulaires quelconques, et soient

(1) y-^ax— a=0, (2) y—bx—$= zO, (3) y— ex— y=0, les équations des côtés BC, CA, AB. Les coordonnées x,, y, du pied de la perpendiculaire abaissée du point (x, y) sur la droite (1) sont données par les formules du n° 7fi

... y—ax — a

y—ax — a a’+i

Les coordonnées ( xt , y,) , (xs, y,) des pieds des perpendiculaires abaissées du même point (x, y) sur les droites (2) et (3) se déduisent des formules analogues

«> T r-y~bx-K , y-te-p x* ^ b'+i ~b’ u-y-~r*+

y— ex— y .

y— ex — y

On obtient ensuite l’équation du lieu cherché en égalant entre

eux les deux rapports — — — — — —

x,—xt x—x.

, rapports que l’on peut

écrire ainsi

\xt—x) — (xt—y)‘

(xt — a?) — (x, — x) ’

rive finalement à l’équation

On ar-