LIV. Il, CHAI*. III.— LIEUX GÉOMÉTRIQUES

(7) (y—ax— a) (y—bx—p) la— 6) (c*+l)

+ iy— bx— $ (y— ex— t)(b— c) (a’+l)

+ (y— ex— i) [y—ax— a) (c—a) (b‘+i) =0.

En développant l’équation (7), qui est du second degré, on voit que les coefficients de x ' et de y1 sont égaux et que celui de xy est nul; le lieu est donc un cercle. D’ailleurs, cette équation est vérifiée par les coordonnées des points de concours des droites données ; le lieu est donc le cercle circonscrit au triangle.

PROBLÈME vi.

410 — Démontrer que, quand deux triangles ABC, A'B'C' ; ont leurs sommets correspondants

(A, A'), (B, B'), (C, C') situés sur trois droites OA, OB, OC passant par un même point 0, les points d' intersection M,N,P des côtés correspondants (BC, B’C'), (CA, C AO, (AB, A' B ) sont situés suruneméme ligne droite Ifig. 61).

Supposons la figure rapportée à un système quelconque de coordonnées rectilignes, et soient (”2) B— 0, (3) P=0, (4) P'=0 les équations des droites OA, OB, PA, PA', les lettres A, B, P, P' désignant quatre fonctions linéaires des coordonnées x et y. Les équations des droites AC , BC seront de la forme

Fig. 61 .

(5) P+XA=0, (6) P+pB:=0, et celles des droites A'C', B'C' de la forme

(7) P'+X’A=0, (8) P'-fu'B=0.

Les quatre constantes X, g, X', p.' sont liées entre elles par une relation résultant de ce que les trois points 0, C, C' sont en ligne droite. On obtient cette relation de la manière suivante : 1 équation

(9) XA — pB=0,

94 GÉOMÉTUIE ANALYTIQUE,

que l’on obtient en retranchant les équations (5) et (6) membre a membre, représente une droite passant par le point C; cette même droite passe d’ailleurs par le point 0; c’est donc la droite OC. On a de même l'équation de la droi'e OC'

(tO) VA — (VB=0.

Pour que les deux droites (9) et (10) se confondent, il faut que l’on ait

Telle est la relation cherchée.

Si l’on multiplie les deux membres des équations (5) et (7) respectivement par V et X et que l’on retranche, on obtient l’équation

(12) VP — XP'=0,

qui représente une droite passant par le point N ; cette même droite passe évidemment par le point P. En opérant d’une façon analogue sur les équations (6) et (8), on trouve pour l’équation de MP

(13) (VP— jiF=0.

Les équations (12) et (13) sont identiques si la condition (U) est satisfaite; donc alors les trois points M, N, P sont en ligne droite.

On démontre de la même manière, que réciproquement, si les points M,N,P sont en ligne droite, les droites AA', BB', CC' passent par un même point.

EXERCICES

1* Trouver sur la droite qui joint deux points donnés un point tel que ses distances aux deux points donnés soient entre elles dans le rapport inverse de deux quantités données.

2° Étant donnés dans un plan n points A, B, C,.... et n quantités m', m", m'",.... qui correspondent à ces n points; sur la droite AB on prend un point N, , tel que les distances de ce point aux deux premiers points soient dans le rapport de ni" à m' ; puis sur la droite N,C qui joint le point N, au troisième point C on prend un point N, tel que ses distances aux

LIV. H, CHAP. III— LIEUX GÉOMÉTRIES. 95 points N , et C soient dans le rapport de mul à ; puis sur

la droite N,D qui joint le point N, au quatrième point D un point N,, tel que ses distances aux poinLs N, et D soient dans le rapport de m" à m' -{-m" -f-m'" , et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on soit arrivé au dernier point donné ; trouver les coordonnées du dernier point division que l’on appelle centre des distances proportionnelles.

Lorsque les multiplicateurs m1, m1', m'1'1,.... sont égaux entre eux, le dernier point de division s’appelle centre des moyennes distances.

3° Comme application, trouver le centre des distances proportionnelles des trois sommets d’un triangle, et en déduire le centre de gravité, le centre du cercle inscrit, le point de rencontre des trois hauteurs, et le centre du cercle circonscrit.

4° Trouver le lieu des points tels que la somme des produits des carrés des distances de chacun d'eux à n points donnés par des quantités constantes m', m", m1",.... soit égale à une quantité donnée.

5« Lieu des centres des cercles qui sont vus de deux points donnés sous des angles donnés.

ti» Lieu des centres des cercles qui rencontrent, en des points diamétralement opposés, deux cercles donnés.

7° Lieu des points tels que la somme des distances de chacun d’eux à deux droites et en général à plusieurs droites données soit constante.

8° Sur deux droites rectangulaires ÜX, OY on construit un rectangle variable OACB ayant un périmètre donné 2a, la perpendiculaire menée au sommet C sur la diagonale AB passe par un point fixe.

9° Ayant fait la figure qui sert à démontrer le théorème du carré de 1 hypoténuse d’un triangle rectangle, démontrer que les deux droites qui joignent les extrémités de l’hypoténuse aux sommets des carrés construits sur les côtés opposés se coupent sur la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l’hypoténuse.

iO» D’un point fixe P ou mène des tangentes aux cercles

qui passent par deux points donnés; trouver le lieu du point où la corde des contacts rencontre le diamètre qui passe au point P.

Il» Étant donné un hexagone régulier ABCDEF, on joint AC et AE; par le centre on mène une sécante quelconque qui coupe les deux droites AC et AE aux points G et H; on joint BG et FP ; trouver le lieu du point de rencontre de ces deux droites.

12» Les circonférences décrites sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet , comme diamètres , ont même axe radical.

13» Etant données cinq droites, on en prend quatre qui forment un quadrilatère complet, dans lequel les milieux des trois diagonales sont en ligne droite. Les cinq droites ainsi obtenues se coupent au même point.

14» Etant donnes trois points A,B,C, et deux droites X,Y; sur AB comme diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés sont parallèles à X et Y; on opère de même avec B,C etC, A; les secondes diagonales des trois parallélogrammes passent au même point.

15° Etant données quatre droites A, B, C,D, on en prend trois pour former un triangle, dont on détermine le point de concours des hauteurs; les quatre points ainsi obtenus sont en ligne droite.

16» Trouver l’équation du cercle circonscrit à trois droites données par leurs équations, en coordonnées rectangulaires.

17» Etant donnés deux cercles tixes, deux cercles variables sont tangents entre eux et aux précédents ; trouver le lieu du point de contact des cercles variables.

18° On prend quatre points arbitrairement sur une circonférence, les bissectrices des trois couples de droites qui passent par ces quatre points sont parallèles deux à deux.

19» Lieu du point tel que les cordes de contact des tangentes menées de ce point a trois cercles donnés se coupent en un même point.