GENRE HYPERBOLE
116— Considérons maintenant le cas où le coefficient M a une valeur positive; ce cas se subdivise aussi en trois autres.
1° N’ — MP>0. Le trinôme Mx* + 2 N x + P, que l’on met sous la forme M [x—x') ( x—x "), est positif et par suite Y est réelle quand x varie de x" à -f- oo et de od à — oo ; d’ailleurs Y
varie en même temps de 0 à oo.
Prenons, comme précédemment, sur l’axe des x deux points P' et P" ayant pour abscisses xf et x", et menons par ces points deux parallèles FA', P" A" à l’axe des y ; la courbe sera située en dehors de ces parallèles; elle se compose de deux parties séparées l’une de l’autre et formées chacune de deux branches infinies (fig. 63) ; on a donné à cette courbe le nom d’hyperbole. Si, à partir du point I, milieu de FF', on prend deux longueurs égales IP et IQ de part et d’autre sur l’axe des x, les valeurs correspondantes de Y sont égales; et l’on voit que le point C, milieu de A' A", est le centre de la courbe, et que les deux droites Diy et IC sont deux diamètres conjugués.
117— Désignons par K» la quantité positive valeur de y peut s’écrire Bæ + E
N1— MP Ms 5
la
wV * [>+ï)‘-K1}
Lorsque x a une valeur numérique très-grande, le premier terme de la parenthèse placée sous le signe radical est trèsgrand par rapport au second; si l’on réduit la parenthèse à son premier terme, on a une valeur approchée de y, savoir Bæ+E.
L’équation précédente définit deux droites distinctes, qui se
2ïï(Æ + M) ^
coupent en un point du diamètre DD' dont l’abscisse est égale N
à — — , c’est-à-dire à la demi-somme des abscisses des points
F et P"; ce point est donc le centre C de la courbe. Considérons la branche de courbe A"M; si C est positif, cette branche est déterminée par l’équation
dans laquelle ou fait varier x de as" à +oo ; prenons en même temps la droite CL qui a pour équation
Bx-fE 1 2C +2C
Pour une valeur quelconque de x supérieure à x", l’ordonnée de la courbe est inférieure à celle de la droite ; ainsi la branche A"M est comprise dans l’angle LCD'. La différence y, — y des ordonnées qui correspondent à une même abscisse a pour valeur
»*-»=-ïc[(*+b) M[(-r+a),K’]]
MK* 1
Quand x augmente indéfiniment, le dénominateur augmente indéfiniment, et par conséquent la différence y, — y tend vers zéro. La droite CL, dont s’approche indéfiniment la branche de courbe A"M, est dite asymptote de cette branche de courbe. On verrait de même que les branches A"M', A'N, A'N' sont comprises dans les angles L'CD', H'CD, HCD et ont pour asymptotes les droites CL', CH', CH.
Dans le cas que nous étudions maintenant, l’équation (1) se met sous la forme
(2Cy + Bx + e)‘— M (x+|y+MK* = 0,
et les deux asymptotes sont représentées par l’équation (2Cy + Bx + Ej-M (x+ï)*=0.
