LIV. III, CHAP. II. -CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES. H

DIAMÈTRES

Fig. 69.

1*»— Si l’on coupe une courbe du second degré par une série de droites parallèles, le lieu des points milieux l des cordes MM/ terminées aux deux points de rencontre est un diamètre de la courbe. Soit m le coefficient angulaire des cordes, et

(1) f(x,y) = \xt-\-Bxy -\-Cyi + Dx + Ey-f-F=0 l’équation de la courbe. Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en un point arbitraire I du plan, ayant pour coordonnées a et b, l’équation de la courbe devient (n° 126)

(2) Aa/'+Bx1 y* +Cy>'+r-(a, *>)*'+ fl(a, b)yl+f(a, 6)=0. Menons actuellement par l’origine I une parallèle MM' à la direction donnée, l’équation de celte paralèlle est

(3) ÿ=mxl.

On obtient l’équation qui donne les abscisses des points de rencontre en éliminant y1 entre les équations (2) et (3), ce qui conduit à l’équation du second degré

(4) [A-\-bm+Cm']x/'[fa(a,b)+f'lJ(a)b)m)x/+f(a, b) = 0. Pour que l’origine I soit le milieu de la corde MM' (üg. 69), il faut que l’équation précédente ait ses racines égales et de signes contraires, c’est-à-dire que a et b vérifient la relation (2Aa-fB6 + D)-|-(Ba-f-2C64-E)m = 0 ; cette relation devant être satisfaite par les coordonnées du point milieu de l’une quelconque des cordes considérées est l’équation du diamètre. Si l’on y remplace les coordonnées variables a et b par x et y, elle s’écrit

(5) (2Ax-fBÿ-}-D)-f-(Bx + 2Cy-f-E)m=0, ou

fx(x, y)+mft(x,y)=Q.

L’équation (5) étant du premier degré, on en conclut que le diamètre correspondant à une série quelconque de cordes bk. 8

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

parallèles est une droite Diy. Si l’on appelle m ! le coefficient

angulaire du diamètre, on a la relation

< , 2A + Bm

(6) m — — B + ç>Cm •

130— Remarque I. La direction du diamètre varie en général avec celle des cordes ; cependant lorsqu'on a

T=|c B*-«C=0, c’est-à-dire lorsque la courbe est une parabole, la valeur de

m' est constante et égale à — — . Ainsi tous les diamètres de

2 Li

la parabole sont parallèles entre eux.

131 Uemarque II. Si le nombre donné m vérifiait la relation

(7) A + Bm + Cm^ü,

d’où

JL±L