ELLIPSE ET HYPERBOLE
141. — Examinons d’abord le cas où la quantité B’— AAC est différente de zéro; la courbe admet un centre unique, dont les coordonnées a et 6 vérifient les deux équations (n° 126)
Ba+2C6-f E = 0;
transportons les axes parallèlement à eux-mêmes au centre
C (fig. 72) ; nous savons que les termes du second degré ne changent pas, que ceux du premier degré disparaissent , et que le terme constant F, de la nouvelle équation est donné par la formule
F,= }-F- L équation de
la courbe, par ce premier changement de coordonnées, se simplifie et devient
(2) Aar,’ q- Bx, y, + C y,* + F, = 0.
Faisons maintenant tourner les axes des coordonnées supposés rectangulaires d’un angle a autour du centre C pour les faire coïncider avec les axes de la courbe; les formules de transformation sont
xt = x' cos a — y' sin a, yt=x' sin a -f- y' eus a.
En substituant dans l’équation (2), on obtient la nouvelle équation
(3)(Acos*a+Csm,a-f-Bsmacosa)a:',+(Asm,a4-Ccos’«— B»tnacosa)y'* -f [2(C — A)sinacosa4- B(cos’a — sm*a)]x'y '-J-F,=0.
On peut disposer de l’angle a de manière à annuler le coefficient du terme en x'y 1 ; pour cela, on posera
(4) 2 (C — A) sin a cos a -f B (cos * a — sin 1 a) = 0 ,
(5) B fany* a -f-2 (A — C)tang<x — B = Ü.
Cette équation du second degré est la même que l’équation (10) du n<* 135, par laquelle nous déterminions la direction des axes de la courbe. Mais on peut résoudre l'équation (4) plus simplement en l’écrivant sous la forme
(C — A)sfn2a4-Bcos2a = 0,
d’où
(6) <any2a = —
Si l’on exclut le cas où l’on a à la fois B=0, et A=C, ce qui est le cas du cercle, l’équation (6) admet une solution positive w moindre que ir, et les diverses valeurs de l’angle 2a qui satisfont à l’équation (6) sont comprises dans la formule
2 a = «a 4- k ir ,
dans laquelle k désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif: on en déduit
Les diverses valeurs de a ne donnent que quatre directions différentes pour l’axe CX'; ces quatre directions sont opposées deux à deux et forment deux droites rectangulaires. Nous
prendrons pour a la valeur-^-, qui est toujours positive et in-
férieure à ^ . Le terme en afy1 disparaît dans l’équation (3) ; il
reste à calculer les coefficients des termes en x‘l et en yn. Si l’on pose
LIV. III, CHAP. III. -RÉDUCTION DE L’ÉQUATION. 121 M= Acos*a-f Csin*« -f-Bsinacos a,
N = Asm’a-t- Ccos’a — Bstn acosa;
on a
M — N=(A — C) (cos *a — sm1o)-(-2Bsin«co«a =(A — C)co*2 a + Bsm2a.
L’équation (6) donne
sm2a=
, COS 2ot=
il en résulte
On calculera donc les deux coefficients M et N à l’aide des formules
Nous avons choisi la valeur de 2a positive et inférieure ait; sin 2 a ayant une valeur positive, il faudra mettre devant le radical le signe de B. De cette manière l’équation de la courbe est ramenée à la forme simple
Si l’on retranche les deEx équations (7) membre à membre après les avoir élevées au carré, on obtient la relation 4MN = 4AC — B‘.
L’équation (8) représente une ellipse ou une hyperbole, suivant que les deux coefficients M et N ont le même signe ou des signes contraires.
