LIV. III, CI1AP. IV.— DE L'ELLIPSE

Soient

■•Æ* y = mx, y = m'x

le»lï%1ations île deux diamètres conjugués OA, OB; d’après la remarque faite au nu 162 les coefficients angulaires seront liés par la relation

mm' = -.

Si dans ces équations on fait x — a', on trouve DP = — ma', D(j =m'a' , d’où

DP X DQ== — mm'al' = b’1.

175 — Supposons que les deux diamètres conjugués OA et OB soient les axes de l’ellipse. Le cercle décrit sur PO comme diamètre passe par le point O, et l’ordonnée DH, perpendiculaire à PQ, est égale à OE. 11 en résulte un moyen facile de construire les directions des axes, quand on connaît deux diamètres conjugués OD et OE. Par le point D on mènera une parallèle à OE; cette parallèle sera tangente au point D, on élèvera sur cette droite une perpendiculaire D1I égale à OE, et on décrira un cercle ayant son centre sur PQ et passant par les points O et II ; les droites OP et OQ qui vont du centre aux deux points P et ü, où le cercle coupe la tangente, donneront les directions des axes.

176—11 reste à déterminer leurs grandeurs. Des relations

a, + 6* = a/*+6'1 ab = a' b1 $in 0,

démontrées aux n°5 161 et 163, on déduit

(a — b)*— a'* + &’* — 2a'6' sm 6 = a'* + bn — 2 aV cos ^0—

(a + b)' — an + 6'* + 2 a b' gin 8 = a'* + 6'* — 2 a' b cos •

Ou voit par ces formules que la longueur a — b est le troi-

sième côté d’un triangle dont les deux autres côtés sont égaux

à a' et à b' et dont l’angle compris est 0 — Ce triangle est

le triangle ODH ; car l’angle ODll est égal à 0 —

côtés DO et DH sont égaux à al et b' ; ainsi le troisième côté OH donnera a — b. De môme a + b est le troisième côté d’un triangle dont les deux autres côtés sont égaux à a' et à b' et l’angle compris supplémentaire du précédent ; ce triangle est le triangle ODK, que l’on obtient en prolongeant la perpendiculaire DH d’une longueur égale à elle-même; le troisième côté OK donnera a + b. Si du point O comme centre, avec OH pour rayon, on décrit un cercle, la longueur Kl sera égale au grand axe 2a, la longueur KL au petit axe 2 b.

On peut remarquer que le grand axe OA est la bissectrice de l’angle HOK, le petit axe la bissectrice de l’angle supplémentaire.

DESCRIPTION DE L’ELLIPSE D’iN MOUVEMENT CONTINU.

777— Lorsque les deux extrémités d’une droite CD de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires OX OY7, un point M de cette droite décrit une ellipse (flg. 95).

Prenons pour axes des coordonnées les deux droites fixes; appelons a et b les deux longueurs constantes MD, MC, x et y

les coordonnées variables du point M. Les triangles semblables MPC, ,k DQM donnent

MP MC DQ ~ Ml)’

— ou

Le lieu décrit par le point M est donc une ellipse dont les axes 2a et 26 sont dirigés suivant les deux droites rectangulaires données.