LIV. III, CHAP. IV — DE L'ELLIPSE

ME = y/ sinO, MFrzas'st'ne;

d’où

MÊ* + mF‘=(^‘ + 1/ ') sin *0 (i!±Çiîi

CORDES SIPPLÉMENTAIRES.

*r©-On appelle cordes supplémentaires dans l’ellipse deux cordes MC, MC', qui, partant d’un même point M de l’ellipse, aboutissent aux extrémités d’un diamètre CG (flg. 91).

Deux cordes supplémentaires sont parallèles à deux diamètres conjugués.

Menons, en effel, les diamètres OD et OE parallèles aux cordes supplémentaires MC', MC. Dans le triangle CMC', la droite OD parallèle à C M, divise en parties proportionnelles les deux côtés CG et CM; le centre O étant le milieu de CG, il s'ensuit que le diamètre OD divise en deux parties la corde CM cl par suite toutes les cordes parallèles au diamètre OE. De même, le diamètre OE divise en deux parties égaies la corde CXM et, par suite, toutes les cordes parallèles à OD. Donc les deux diamètres OD et OE, parallèles aux cordes supplémentaires MC', MC, sont conjugués.

Réciproquement, si par les extrémités d’un diamètre CC’ on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués OD et OE, ces droites se couperont sur l’ellipse. En effet, soit M le point où la corde CM, parallèle à OE, rencontre l’ellipse; joignons C M ; les cordes supplémentaires MC, MG étant parallèles à deux diamètres conjugués, la seconde corde GM sera parallèle à OD.

171-L’étude de la variation de l’angle de deux diamètres conjugués se trouve ainsi ramenée à l’élude de la variation de l’angle de deux cordes supplémentaires, c’est-à-dire de l’angle inscrit dans une demi-ellipse. Pour simplifier le calcul, on peut supposer les deux cordes supplémentaires menées par les

extrémités du grand axe (fig. 92). L’angle AMA', que nous appellerons 6 , est égal à la différence des deux angles MAX, MA'X; les deux droites AM et A'M ayant pour

coefficients angulaires <J

on a

Fis. 92.

lang 6 =

2 ay

et, en remplaçant x ’ par sa valeur tirée de l’équation de l’ellipse,

2 ah'

Si le point M décrit la moitié supérieure AMA' de l’ellipse, la tangente étant négative, l’angle 0 est obtus; quand le point M est au point A, c’est-à-dire quand y = 0, l’angle 0 est droit; le point M marchant de A vers B, y augmente; la valeur absolue de lang 0 diminuant, l’angle obtus 0 augmente aussi et acquiert sa valeur maximum au point B; alors on a y=b et 2 ah

lang 0 — —

a* — ht ’

quand le point M dépasse le point B et

parcourt le quart d’ellipse BA', l'angle 6 diminue de sa valeur maximum jusqu’à un angle droit.

Il résulte de là que l’angle des demi-diamètres conjugués 01) et OE, situés d’un même côté du grand axe, est obtus et varie depuis un angle droit jusqu'à la valeur maximum ABA'; les diamètres conjugués, qui comprennent l’angle maximum, étant respectivement parallèles aux cordes supplémentaires A'B et AB et par suite également inclinés de part et d’autre du petit axe OB, sont égaux.

Nous avons étudié la variation de l’angle obtus DOE de deux diamètres conjugués, l’angle aigu DOE' varie en sens inverse. On obtient directement cet angle en menant les cordes supplé-

Ht»

L1V. lit, CHAP. IV.— DE L’ELLIPSE.

mentaires par les extrémités du petit axe BB'; quand le point M décrit le quart d’ellipse BA, l’angle inscrit diminue depuis un angle droit jusqu’au minimum BAB', supplémentaire du maximum obtus ABA'.

1 7 9— Lorsqu’une ellipse est tracée, on peut déterminer graphiquement le centre et les axes. Pour trouver le centre, on mènera deux cordes parallèles suffisamment écartées l’une de l’autre ; on joindra les milieux de ces cordes, ce qui donnera un diamètre dont le milieu sera le centre. Si sur ce diamètre on décrit un demi-cercle, et que l’on joigne aux deux extrémités du diamètre le point où ce demi-cercle coupe la demi-ellipse, on aura deux cordes supplémentaires perpendiculaires entre elles; les diamètres parallèles, formant un système de diamètres conjugués rectangulaires, seront les axes de l’ellipse.

On pourrait obtenir de la même manière les deux systèmes de diamètres conjugués qui font entre eux un angle donné compris entre le minimum et le maximum ; il suffirait de décrire sur un diamètre un segment capable de l’angle donné.

173 — Construire une ellipse, étant donnés deux diamètres conjugués.

Soient DD', EE' (fig. 93) les deux diamètres conjugués donnés, dont nous désignerons les longueurs par 2 a' ellh'.

L’équation de l’ellipse, rap-

im-

portée à ccs deux diamètres conjugués, est

Par le centre menons la droite E,E/ perpendiculaire à DD' et prenons OE, = OE ; l’ellipse qui a pour axes DD', E,E/, rapportée à ces axes, eslreprésentéc par la même équation. Il en résulte que les ordonnées MP, M,P, qui correspondent à une même abscisse OP, sont

Fig ta.

égales entre elles. Imaginons que, par le procédé indiqué au n° 147, on ail construit différents points de l’ellipse DE,D', dont on connaît les axes; soitM, l’un de ces points, M,P son ordonnée; si parle pointP on mène PM parallèle à OE et égale à PM,, on aura un point M de l’ellipse demandée. Clwque point de la première ellipse donnera un point correspondant delà seconde. Ceci revient à déformer la première ellipse en faisant tourner chaque ordonnée PM, autour de son pied P d'un angle constant.

Le même mode de transformation s’applique à la tangente. La tangente au point M est représentée par l’équation

JX y Y an + yt ~

en coordonnées obliques ; cette équation représente aussi la tangente au point M, en coordonnées rectangulaires. Ces deux tangentes coupent le prolongement du diamètre Diy au même point T, dont on obtient l’abscisse en faisant Y =0.

Au lieu de construire l’ellipse par points, comme nous l’avons expliqué, on pourrait déterminer d’abord les axes de l’ellipse, et construire ensuite cette ellipse au moyen de ses axes. La détermination des axes dépend d’un théorème que nous allons démontrer.

«74 — Deux diamètres conjugués quelconques déterminent • sur une tangente p ré PQ deux portions DP, DQ, dont le produit est constant et égal au carré du demi-diamètre OE parallèle à la tangente.

Si l’on prend pour axes des coordonnées le diamètre OD, qui passe par le point de contact et le diamètre conjugué OE, et si l’on appelle a' et b' les longueurs de ces demidiamètres, l’équation de l’ellipse est