AIRE D’US SEGMENT HYPERBOLIQUE
2©«-Nous commencerons par établir le théorème qui sert ordinairement à l’évaluation des aires. Considérons l’aire comprise entre l’axe OX, une courbe, une ordonnée fixe AB, et une ordonnée mobile MP (fig. 105), correspondant à l’abscisse x; cette aire, que nous désignerons par S, est une fonc-
LIY. 111, CHAI». V.— l)E L’HYPERBOLE. 171
H in'/
Jt
tion de la variable x ; nous cherchons sa dérivée. Donnons à x un accroissement Ax=PP', assez petit pour que de M en M' l’ordonnée varie dans le même sens ; par les points M et M' menons des parallèles MC, M'D à l’axe OX; l’accroissement AS de l’aire est plus grand que le parallélogramme MPP'C, et plus petit que le parallélogramme DPP'M'; le premier parallélogramme a pour mesure y.Ax.sinfl, 6 étant l’angle des axes, le second (y+A y) A x.iin ô; on a donc y. A x.sinô <AS <(y+ Ay)Ax. sm8 , et, en divisant par Ax,
AS
y sin 0 < tt.< ( y + Av) sin °-
aX
Supposons maintenant que l’on fasse tendre Ax vers zéro.
Fie. 105.
Le rapport - — est compris entre deux quantités, l’une ysinQ, Ax
l'autre ayant pour limite celte quantité; donc le rapport a aussi pour limite y sin 6. Ainsi la dérivée de l’aire considérée comme une fonction de l’abscisse est y sin 0. Réciproquement l’aire S est l’une des fondions primitives de y sin 9, considérée comme une fonction de x.
Quand les axes des coordonnées sont rectangulaires, la dérivée de l’aire est égale à y.
ÏO#— Considérons une hyperbole rapportée à ses asvmpt If tôles , et proposons-nous d’é-
I valuer l’aire comprise entre l’a-
j i symptole OX, l’hyperbole, l’or-
/ VL „ donnée fixe AB correspondant ~ à l’abscisse a, et l’ordonnée variable MP correspondant à l’abscisse x (fig. 10(5). L’équation de la courbe étant
on a
Fig, 106.
et par suite
i/sinO — k'sin1). — .
Or — est la dérivée de Lx, donc k * sin 6 X — est la dérivée x x
de A'smOLa;, et par conséquent on a
S=A,s»n6Lx+C.
On détermine la constante C par la condition que l’aire soit nulle poura;=a, ce qui donne C=— A*si»9La,et,par suite,
(8) S = À' * sinG (Lar — L a) = k' sin 0 L ^ .
L’abscisse a restant constante, si l’on fait augmenter x indéfiniment, l’aire S augmente aussi au delà de toute limite. La même chose a lieu quand on fait tendre a vers zéro, x restant fixe.
Dans le cas particulier où 1 hyperbole est équilatère, on a sin 8 = 1; si l’on suppose en outre k * = 1 , et que l’on compte l’aire depuis l’ordonnée qui répond à l’abscisse 1, c’est-à-dire au sommet de la courbe, la formule précédente se réduit à
C'est à cause de cette propriété que l’on désigne aussi les logarithmes népériens sous le nom de logarithmes hyperboliques.
Si Ton suppose k= 1 et a=l, la formule (8) devient S = sin 0 L (x).
On pourra prendre 0 de manière que S soit le logarithme de x dans un système quelconque dont la base est plus grande que e.
EXERCICES
t° On donne deux points A et B, par ces deux points ou mène deux droites mobiles AM et BM telles que l’angle MAB soit double de MBA ; trouver le lieu des points d’intersection M.
