HYPERBOLE RAPPORTÉE A SES ASYMPTOTES

900— Si l’on prend pour axes des coordonnées les deux asymptotes de la courbe , l'équation ne renfermera pas de

termes du premier degré, puisque l’origine est au centre ; elle sera donc de la forme

Ax*+B.rÿ-l-Cy, = H.

Les droites parallèles à OY ne coupent la courbe qu’en un point; donc pour chaque valeur de x , y n’a qu’une valeur, ce qui exige que C

ir

ég

Kii;

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, soit nul; par la même raison A doit aussi être nul ; ainsi l’équation sera simplement

(6) B.rÿ = H, ou =A'

Les axes étant pris comme l’indique la figure, la constante-

est positive, puisque pour tous les points de la courbe les coordonnées x et y ont le même signe. On détermine facilement la constante k' lorsqu’on connaît les axes de la courbe ; en effet, l’équation (5) doit être vérifiée parjes coordonnées de l’un quelconque des points de la courbe, si l’on considère en particulier le sommet A, on a, pour ce point

AB' /a' + ft*, x=y=0\= — = y— ^

d’où

On donne quelquefois à la constante k' le nom de puissance de l'hyperbole.

L’hyperbole étant rapportée à scs asymptotes, la tangente TT' au point M, dont les coordonnées sont x et y, a pour équation

(7) yX + .rY=2À-\

L’abscisse du point de rencontre de la tangente avec l’axe OX s’obtient en taisant dans cette équation Y=0, d’où

X = OT = — =1 x= 2 OP ;

on reconnaît de nouveau que le point de contact M divise en deux parties égales la portion TT' de la tangente comprise entre les asymptotes.