LIV. III, CHAP. VI.— DE LA PARABOLE
Par les points P, P'... menons des perpendiculaires à l’axe AX; par les points N, N'... des perpendiculaires à AY; les points de rencontre M, M'... sont des points de la parabole.
£05— Des relations
MP* = 2pAP, BPP', = 2pAP',
on déduit
MP* AP SFp'1 a'P'
Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’axe de la parabole sont entre eux comme les segments de l’axe compris entre le sommet et les ordonnées.
Par le point M de la courbe menons une parallèle à l’axe, et imaginons qu’un point mobile parcoure cette parallèle. Si daus la fonction
y'—Zpx
on remplace x et y par les coordonnées du point mobile, cette fonction se réduira à zéro lorsque le mobile sera en M, elle aura une valeur positive pour une position du mobile extérieure à la courbe et une valeur négative pour une position intérieure.
*06— Nous avons vu que les branches infinies de l’hyperpole ont des asymptotes; il n’en est pas de même dans la parabole. Et d’abord, puisque y augmente indéfiniment avec x, il n’y a pas d’asymptote parallèle à l’axe de la parabole. En second lieu, soit y, = ax + b l’équation d’une droite quelconque oblique à l’axe, la différence des ordonnées des points de la droite et de la courbe qui correspondent à une même abscisse est égale à
ax + 6 — y^Zpx et peut se mettre sous la forme
Quand x augmente indéfiniment, le premier facteur augmentant indéfiniment, et le second tendant vers la valeur a diffé-
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, rente de zéro, le produit augmente indéfiniment. Donc il n’y a pas non plus d’asymptote oblique à l’axe.
TANGENTE A LA PABABOLE.
#07 — La tangente au point M, dont les coordonnées sont x et y, a pour équation
ou
yY =pX+y’ — px;
le point M étant sur la courbe, on a y ’=2px, et l’équation précédente se réduit à
(2) yY = p (X + x).
Soit T le point où la tangente rencontre l’axe de la parabole (fig. 108) ; si dans l’équation (2) on fait Y' = 0, on trouve X = — x ; donc AT = AP.
Ceci donne un moyen facile de construire la tangente à la parabole en un point donné M ; on abaissera la perpendiculaire MP sur l’axe, on prendra AT=AP et l’on joindra MT.
MENER CNE TANGENTE PAR l’N POINT EXTÉRIECR.
#08 — Soit M, le point donné dont les coordonnées sont x, et y, , x et y les coordonnées inconnues du point de contact M ; le point M étant sur la parabole, ses coordonnées vérifient l’équation (I). L’équalion de la tangente au point M est y y =p (X +x).
Cette tangente passant au point M, , les coordonnées x, et y, doivent vérifier l’équation précédente, ce qui donne entre x et y la deuxième relation
yly=p(x, + x).
Ainsi on obtient x et y en résolvant les équations simultanées
(1) y’-2px = <),
