LIV. III, CHAI». VII.— FOYERS ET DIRECTRICES

On emploie les miroirs paraboliques dans la construction des télescopes; l’axe est dirigé vers l’astre; les rayons lumineux venant de l’astre se réfléchissent sur le miroir, et forment au foyer une image très-brillante de l’astre.

On emploie aussi la forme parabolique dans la construction des porte-voix et des cornets acoustiques.

247 — Corollaire III. Réciproquement la parabole est la seule courbe qui jouisse de cette propriété que la tangente en chacun de ses points fasse des angles égaux avec la parallèle à une droite fixe et le rayon vecteur mené d’un point fixe au point de contact. Imaginons que chacun des points M du plan soit déterminé par sa distance MF au point fixe F et sa distance ME à unedroite DE perpendiculaire à la droite fixeFBffig. 136); désignons par « et u ces deux coordonnées. Quand on passe du point M de la courbe au point voisin M', ces deux coordonnées éprouvent des accroissements Au =M'C, Ae=M'C/, et l’on a

At> M'C7 M'K

Âïï-M'C-MTr

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite M'M devient tangeute et l’angle H devient droit. Les deux triangles rectangles GMH, GMK (fig. 137), limites des deux triangles GM'II, GM'K, sont égaux, comme ayant l’hypoténuse commune et l’angle GMH égal à GMK par hyppolhèse. On a donc

.. At>

Au

et en remontant à la fonction primitive o=u-f- G. En déplaçant la droite DE d’uue quantité égale à la constante C, on aura t=u.

PROBLÈME IX

*48— Mener une tangente par un point M donné sur la parabole.

Première méthode. Soit T (fig. 139) le point où la tangente rencontre le prolongement de l’axe, ME la perpendiculaire BR. . U

abaissée du point M sur la directrice. On sait que la tangente est bissectrice de l'angle FME; l’angle FTM étant égal à l’anglealterne-interne TME, et par suite à l’angle FMT, il en résulte que le triangle TFM est isocèle, et les deux côtés FM et FT égaux entre eux.

Ainsi, pour construire la tangente au point M, il suffit de porter sur l’axe une longueur FT égale au rayon vec- TM.

Cette méthode ne convient pas quand le point M est trèsvoisin du sommet A de la parabole, parce que les deux points M et T, étant alors très-rapprocliés l’un de l’autre, ne déterminent pas la tangente avec une assez grande précision. Dans ce cas on emploiera de préférence la méthode suivante.

Deuxième méthode. La tangente MT, divisant en deux parties égales l’angle au sommet M du triangle isocèle FME, est perpendiculaire sur le milieu de la base FE.

Ainsi, pour construire la tangente, il suffit d’abaisser du point M une perpendiculaire ME sur la directrice, et de mener du point M une perpendiculaire sur la droite FE.

11 résulte de cette construction que la tangente au sommet A de la parabole est perpendiculaire à Taxe de la parabole.

Remarque. 11 est bon de remarquer que tous les points de la tangente, excepté le point de contact M, sont situés à l’extérieur de la parabole. Soit P un point quelconque de la tangente; la tangente étant perpendiculaire sur le milieu de FE, les distances PF, PE sont égales; mais l’oblique PE est plus grande que la perpendiculaire PK; donc la distance PF est plus grande que PK, et par suite le point P est à l’extérieur de la parabole. lien résulte que la parabole est une courbe convexe.

240 — Corollaire. Le lieu des projections du foyer sur la tangente à la parabole est la tangente au sommet. On voit, en

leur FM et de joindre

LIV. III, CHAP. VII.— FOYERS ET DIRECTRICES. 211 effet, que le point I, milieu de FE et projection du foyer sur la tangente, se trouve sur la parallèle à la directrice menée par le point A, milieu de FD, c’est-à-dire sur la tangente au sommet A.

PROBLÈME X

250— .Wener une tangente à la parabole par un point extérieur P.

Supposons le problème résolu et soit PM (lig. 140) la tangente demandée. Si l’on abaisse du point M une perpendiculaire ME sur la directrice et si l’on joint FE, on sait que la tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de FE; il en résulte que la distance PE est égale à PF, et l’on en déduit la construction suivante.

Du point P comme centre, avec un rayon égal à la distance PF de ce point au foyer, décrivez un cercle qui coupera la directrice au point E. Joignez FE, et du point P menez une perpendiculaire sur la droite FE, vous aurez la tangente demandée. Le point de contact M sera déterminé par l’intersection de la tangente avec une parallèle a l’axe menée par le point E.

Le cercle coupe la directrice en un second point E'. On mènera de même du point P une perpendiculaire sur FE' et l’on aura une seconde tangente PM'.

Ces constructions peuvent être effectuées sans que la parabole soit tracée. Il suffit que l’on connaisse le foyer et la directrice.

PROBLÈME XI

251 — Mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée KL.

Supposons le problème résolu et soit MT la tangente demandée (fig. 141). Si du point de contact M on abaisse une

perpendiculaire ME sur la directrice et que l’on joigne FE, on

Fig. 1*1.

sait que la tangente est perpendiculaire sur le milieu de FE. On en déduit la construction suivante :

Du foyer F abaissez une perpendiculaire sur la droite donnée KL jusqu'à sa rencontre avec la directrice en E, et sur le milieu de FE élevez une perpendiculaire MT, vous aurez la tangente demandée. On déterminera le point de contact M en menant par le point E

une parallèle EM à l’axe.

PROBLÈME XII

2Ü2 — Trouver les points de rencontre d’une droite donnée et d’une parabole définie par son foyer et sa directrice.

Prenons le point F, symétrique du foyer par rapport à la

droite donnée (flg. 142). Le point M, étant également distant des points F, F, et de la directrice , est le centre d’un cercle passant par ces deux points et langent à la directrice. Pour avoir le point de contact E, on porte sur la directrice à partir du point 1 une longueur 1E moyenne proportionnelle entre les deux longueurs 1F, IF,.‘

Fig. 1*1.