CHAPITRE IX

Condition» nére«anlren pour In détermination d aoe courbe da second degré.

266— L’équalion générale du second degré

Aar‘ + Bxy+Cy, + Dx+Ey+F=0, contient six coefficients; mais, comme on peut diviser tous les termes par l’un des coefficients, pourvu que ce coefficient soit différent de zéro, on voit que l’équation ne renferme que cinq paramèlrcs arbitraires, savoir les rapporlsde cinq coefficients au sixième. Pour déterminer une courbe du second decré, il faut donner les valeurs des cinq paramètres, ou bien cinq relations entre ces cinq paramètres ; mais, dans ce cas, il est nécessaire d’examiner si les cinq équations de condition admettent un système de solutions réelles, et si en outre l’équation du second degré correspondant représente bien une courbe; autant les cinq équations de condilion admettront de systèmes de solutions réelles jouissant de cette propriété, autant il y aura de courbes du second degré satisfaisant aux conditions proposées.

En général, les relations entre les paramètres proviennent de condilions géométriques auxquelles doit satisfaire la courbe. Ainsi on peut assujettir la courbe à passer par des points donnés, à être tangente à des droites données, etc. On exprimera que la courbe passe par un point donné, en écrivant que les coordonnées du point vérifient l’équation de la courbe, ce qui donne une relation entre les coefficients. On exprimera que la courbe est tangente à une droite donnée, en écrivant que l'équation qui fournit les abscisses des poinls d’intersection de la courbe et de la droite a deux racines égales, ce qui donne aussi une relation entre les coefficients. Une condition géométrique qui se traduit par une relation entre les coefficients est regardée comme une condition simple. Une condition géométrique qui se traduirait par deux relations serait regardée comme double; si, par exemple, on assujeltissait la courbe à toucher une droite donnée en un point donné, l’équation qui donnerait les abscisses des points d’intersection devant admettre une racine double donnée , il en résulterait deux relations entre les coefficients; la condition géométrique énoncée devrait donc compter comme deux conditions simples. D’après cela, on dira qu’il faut cinq conditions géométriques pour déterminer une courbe du second degré. Mais, comme nous l’avons déjà fait observer, il sera nécessaire d’examiner si les cinq équations admettent un système de solutions réelles-

— Supposons que l’on assujettisse la courbe du second degré à passer par cinq points donnés. En désignant par .r/, y/ les coordonnées de l’un des points, on aura cinq relations de la forme

Aa/, + Byy' + Cy'« + D^ + Ey, + F=0, entre les rapports de cinq des coefficients au sixième. Ces équations, étant du premier degré, admettent en général un système de solutions réelles et finies et un seul; cependant il faut examiner s’il r/y a pas d’exception. Pour faciliter la discussion , nous choisirons d'une manière particulière les axes des coordonnées.

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