LIV. III, CI1AP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ. -2 M

Considérons d'abord le cas où, parmi les cinq points donnés, trois ne sont pas en ligne droite. Soient A, B, C, D, E les cinq

points donnés; prenons pour axes des coordonnées les deux droites AB, CD, qui se rencontrent en O.

Appelons xf et x/' les abscisses des l»ints A et B, y' et y" les ordonnées îles points C et D, xt et y, les coordonnées du point E. Soit

Fig. iss. Atf,+ Bxy-1-Cy*+D.r-|-Eÿ+F=0,

l’équation d’une courbe du second degré. Cette courbe passera par les points A et B, si l’équation

Aæ’ + Djt+F—

à laquelle se réduit l’équation proposée, quand on fuit ij= 0, admet pour racines cd et or"; pour cela il est nécessaire et il suffit que les coefficients de l’équation satisfassent aux relations

■ — W I yJI ,yj yt't

ou

De même la courbe passera par les points C et D, si l'équation Cy’+Ey+F=0,

que l’on obtient en faisant x=0, admet pour racines y1 et y"; pour cela il est nécessaire et il suffit que les -coefficients satisfassent aux relations

ou

Si l’on remplace les coefficients A, D, C, E par les valeurs trouvées, et si l’on divise tous les termes par F, l’équation de la courbe s’écrit

{i) ^'+Pw+W~a +z) * ' ” (v ' + v) y + ' ■ - 1 °-

On peut la mettre sous la forme

, B 1 en posant “=p--^ÿr

— ÿ~^T‘ Quelle que soit la valeur

du paramètre a, l’équation (3) représente une courbe du second degré qui passe par les quatre points A, B, C, D.

La courbe passera par le cinquième point E, si les coordonnées x„ y, de ce point satisfont à l’équation (3), ce qui donne une relation qui détermine la valeur de a. Si l’on attribue à a la valeur ainsi déterminée, l’équation (3) représentera une courbe passant par les cinq points donnés A, B, C, D, E.

Puisqu'on obtient un seul système de valeurs pour les coefficients, il n’y a qu’une seule courbe du second degré qui passe par les cinq points donnés.

Ainsi, par cinq points donnés, dont trois ne sont pas en ligne droite, passe toujours une courbe du second degré et une seule.

268— Lorsque, parmi les cinq points donnés, trois, C, D, E, sont en ligne droite, on peut encore faire passer par ces cinq points, un lieu du second degré; ce lieu se compose du système de deux droites CDE, AB. Il n’y en a pas d’autre que celui-là. Nous savons, en effet (n11 58) , que, lorsqu’une droite a trois points communs avec un lieu du second degré, elle appartient tout entière au lieu. Le premier membre de l’équation du second. degré se décomposera en un produit de deux facteurs du premier degré ; les deux équations, que l’on obtient en égalant séparément chacun de ces facteurs à zéro, représentent les deux droites.

Lorsque parmi les cinq points donnés, quatre sont en ligne droite, il y a indétermination. Le lieu se composera de la droite, à laquelle appartiennent les quatre premiers points, et d’une droite quelconque passant par le cinquième point.

LIV. III, C1IAP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ. 2.13 L’ii(|uation du second degré renfermera un paramètre arbitraire.

Enfin, si les cinq points donnés étaient en ligne droite, l’indétermination serait encore plus grande ; le lieu , formé de cette droite et d’une autre droite quelconque, dépendrait de deux paramètres arbitraires.

L’équation (2), dans laquelle le paramètre - est arbitraire,

représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points A, B, C, D. Ces quatre points suffisent pour

déterminer une parabole; car la condition ^5^ __A = o

donnera le paramètre Si le produit x'^'y'ij1' a une valeur positive, on aura deux paraboles passant par les quatre points donnés ; mais, si le produit avait une valeur négative, il serait impossible de faire passer une parabole par les quatre points.

ÉQUATION GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ PASSANT PAR QUATRE POINTS DONNÉS.

369 — L’équation (3), qui renferme un paramètre arbitraire «, représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points donnés A, B, C, D, quand on prend pour axe des coordonnées deux côtés opposés du quadrilatère inscrit ABCD (fig. 1 56). En général soient A=0, A'=0 leséquations de deux côtés opposés AB, CD du quadrilatère, B = 0, B' = 0 celles des autres côtés BC, DA, il est aisé de voir que l’équation

(4) AA' + aBB'=0,

dans laquelle « désigne un paramètre arbitraire, représente toutes les courbes du second degré qui passent par les quatre points donnés. En effet, quelle que soit la valeur attribuée a a, on reconnaît d’abord que la courbe passe par les quatre points ;

car les coordonnées du point R, par exemple, annulant à la fois facteurs A et B, vérifient l’équation. D'un autre côté, celte équation représente tonies les courbes du second degré qui passent par les quatre points donnés; car un cinquième point définit la courbe, et l'on peut toujours déterminer le paramètre a de manière que la courbe passe par ce cinquième point.

Il est à remarquer que, parmi les lignes du second degré qui jtassent par les quatre points donnés , se trouvent trois couples de droites, savoir: le couple des droites AB, GD, le couple BC, DA, et enfin le couple AC, BD.

Les polynômes du premier degré A, A', B, B' désignent, à des facteurs constants près, les distances du point M qui a pour coordonnées x et y, aux quatre côtés du quadrilatère, distances que nous appelerons p, p', q, tf, de sorte que 1 équation (4) peut être mise sous la forme

k étant un rapport constant. Il en résulte ce théorème : le produit des distances d’un point quelconque d’une courbe du second degré à deux côtés opposés d’un quadrilatère inscrit est an produit des distances aux deux autres côtés dans un rapport constant. En faisant varier le rapport k, on obtient toutes les courbes du second degré circonscrites au quadrilatère ABCD.