LIV. llf, CHAP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ

du second degré , il suffit d’écrire que l’équation admet la racine double x = x1 ou y = y'; l’équation générale des courbes du second degré tangentes aux deux droites données en A et B, pourra se mettre sous la forme

On déterminera ensuite le paramètre a par la condition que la courbe passe par le point M.

Ainsi, il existe une courbe du second degré et une seule tangente à deux droites données en deux points donnés, et passant par un point donné.

271 — Cela posé, supposons que les axes des coordonnées aient une position quelconque dans le plan ; désignons par A=0, A'=() les équations des deux tangentes OA, OB, et par B=0 l’équation de la corde des contacts AB; l’équation (5) AA' + aB« =0,

dans laquelle a est un paramètre arbitraire, représentera toutes les courbes du second degré tangentes aux deux droites donnéeslm deux points donnés. En effet, si l’on cherche les points communs à la courbe et à la droite A = 0, l'équation (5) se réduit à B = 0 , ce qui donne un seul point A; ainsi la courbe est tangente à la droite OA au point A ; elle est de même tangente à la droite OB au point B. D’un autre côté, l’équation (5) représente toutes les courbes du second degré tangentes à ces deux droites aux points A et B; car on peut déterminer le paramètre a par la condition que la courbe passe par le point M.

Si l’on appelle p et p' les distances d’un point quelconque M de la courbe aux deux tangentes, q la distance à la corde des contacts AB, l’équation (5) peut se mettre sous la forme

11 en résulte ce théorème : le rapport du produit des distances d'un point quelconque d’une courbe du second deyré à deux

tangentes au carré de la contacts, est constant.

distance de ce point à la corde des

ÉQUATION GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ PASSANT PAR TROIS POINTS DONNÉS.

*^*—Soient A=0’ B=0’ c=0 les équations des côtés bc, ca, ab du triangle abc ; toutes les courbes du second degré qui

‘eS tr°iS P°inlS °’ b’ C’ SCront rcI>résentées par ou («) “BC + pCA + rAB = 0 ,

qui renferme deux paramètres arbitraires, savoir les rapports

de deux des trois coefficients «,P,T au troisième. On voit d’abord que toute courbe /y représentée par l’équation (6) passe par les trois points a, b, c; d'autre part, on peut déterminer les deux paramètres de maniéré à assujettir la courbe à passer en outre par deux points pris à

Fig.

volonté dans le plan

*73-Chercbons l’équation de la tangente au pointatoute droite passant en ce point a uue équation de la forme’ C + XB=0. Les points d’intersection de cette droite et de la courbe sont donnés par le système des deux équations + XB o, B [X«B + (Xp — y) A ) = 0, qui se décompose en deux ; 1 un B 0, C = 0 fournit le point a; pour que l'autre

système fournisse aussi le point a, il faut que l’on ail X=I-

~ ft ,

ainsi la tangente au point a a pour équation