LIV. I, CHAI». II.— EXEMPLES

le point 0 et à égale distance de part et d’autre. Il en est de même de tous les points deux à deux. Donc le point 0 est erntre de l'ellipse.

• 7 — La forme et les dimensions de l’ellipse dépendent de la distance FF' des foyers e( de la somme constante A.V. Nous avons vu comment on en déduit la longueur BB'. Inversement les deux longueurs AA' et BB', qui sont les portions ‘ des axes6ilués dans l’ellipse, et que, pour abréger, on appelle les axes de l’ellipse, peuvent servir à définir cette courbe.

f;c- «*• On commencera par déterminer les foyers (fig. 12). Pour cela, d'un sommet B du petit axe comme centre, avec un rayon égal au demi grand axe OA, on décrit une circonférence; les deux points F et F', où cette circonférence coupe le grand axe, sont les foyers de l’ellipse : car on sait que la dislance du sommet B à chacun des foyers est égale au demi grand axe. Une fois les foyers déterminés, on construit l’ellipse par points, ou bien on la trace d’un mouvement continu, comme dous l’avons expliqué.

18— On appelle excentricité le rapport de la distance FF' des foyers au grand axe AA'.

L’ellipse est une courbe fermée plus ou moins allongée ; sa forme dépend de la grandeur de l’excentricité. Quand l’excentricité est nulle, les deux foyers se confondent avec le centre ; la distance d’un point quelconque de l’ellipse au centre est constante, et l’ellipse se réduit rigoureusement à une circonférence de cercle. Quand l’excentricité est li cs-pctile, les foyers sont très-mpprocliés du centre; les deux axes différent peu l’un de l’autre, l’ellipse est arrondie et peu différente d’un cercle. A mesure que l’excentricité augmente, en supposant le grand axe constant, les foyers s’écartent, le petit axe diminue, et l’ellipse prend une forme de plus en plus aplatie.

IO. Cherchons maintenant l'équation de l’ellipse. Le svs-

tème de coordonnées indiqué par l’énoncé est le système bijrolaire ; si l’on détermine la position de chacun des points du plan par ses distances aux deux points tixes F et F', l’ellipse aura pour équation

Voyons quelle est l’équation en coordonnées rectilignes. Prenons les deux axes de la courbe pour axes des coordonnées (flg. 13); désignons par 2c la distance FF' des foyers , et remarquons que les longueurs PF et PF' sont égales à c — x et àc-hrj les triangles rectangles FM P , F'MP donnent

Lj

Fig. IJ.

En substituant les valeurs de u et de c dans l’équation (i), on obtient l’équation :

^ ï’+M)‘+'/ y’ +(c+ar)! = 2o.

Pour mettre cette équation sous forme entière, nous élèverons au carré, après avoir fait passer le premier radical dans le second membre, ce qui donne v

y * + fc-f x) * = t a ’fV’ + (c — je) 1 + 4 a V y • -f (c—x) *, ou, en simplifiant,

« ^ y * + (c—x) , = a, — cx.

Une nouvelle élévation au carré conduit à l’équation a’y* + (a1— c*) (a*— c*).

La somme constante 2a étant plus grande que la distance des foyers 2c, on peut poser a* — c’ = b*, et l’équation de l’ellipse se met sous la forme

aiyt+btx*=zatbt,

ou