LIV. IV, CHAP.I.— COURBES EN COORDONNÉES RECUL

toujours négative, les deux valeurs de y * sont négatives et les quatre valeurs de y imaginaires. Pour que l’équation (t) ail des racines reelles, il faut donc que l’on ait

(*» — c*)* — a‘<0, ou

(x*c* — a») (j'-c’ + a'XO, et par conséquent

Æ’Xa’ + c* et a5*>c* — a».

Alors une des valeurs de y 1 est positive, l’autre négative.

Prenons OA=OA' = Va' la courbe est comprise entre les parallèles à l’axe des y menées par les points A et AL La seconde condition exige que l’on distingue plusieurs cas.

1° a<Cc. Prenons 08=00'= l/c* — a* et par les pointsB

et IV menons des parallèles à OY (fig. 163), la courbe se compose de deux parlies comprises, l’une entre les parallèles menées par les points B et A, l’autre entre les parallèles menées par les points B' et AL Quand on donne à f'ü- l43- x l’une des valeurs

OB ou OA, l’une des valeurs de y' est nulle, l'autre négative; x croissant de OB à OA, la valeur de y ’, qui d’abord est nulle, devient positive et s'annule de nouveau. On obtient ainsi une courbe fermée BCAD. Les valeurs négatives de x donnent une seconde courbe B'C'A'D', égale à la précédente- Le coefficient angulaire de la tangente est déterminé par la formule

x ( x ' + y * — c* yfa-’+y'+f*)'

Aux points A et B, y est nulle et y' infinie, la tangente est parallèle à l’axe OY. Le numérateur de y' devient nul, quand on a (3) x’ y ’ = c’.

Du point O comme centre, avec OF pour rayon, décrivons un cercle; ce cercle coupe la courbe en quatre points C,D,C/,D/, donnés par les formules

4ek — ak

Comme l’arc BC est intérieur au cercle, en l’un quelconque des points de cet arc, la fonction x1 -f-y* — c* a une valeur négative et y' est positive. Pour les points de l’arc CA, le facteur .r’+y* — c1 est positif et y' négative. Ainsi, de B en C l’ordonnée croît, et de C en A elle décroît; l’ordonnée du pointe est maximum.

2° a=x. La seconde condition est satisfaite quelle que soitx; x peut varier de — r*/ 2 à c/2. Quand x varie de 0 à c/ 2,

la valeur positive de y’ part de zéro et redevient nulle; on a une courbe- fermée OCADO (fîg. 164) qui passe a l’origine ; les valeurs négatives de y donnent une courbe symétrique de la précédente par rapport à OY. Le cercle de rayon OF coupe la courbe en quatre points,

dont les ordonnées ont une valeur numérique — maximum.

Fig. 164.

Cette

l’abscisse de ces points a pour valeur absolue courbe se nomme lemniscate.

A l’origine, la valeur de y7 se présente sous la forme