LI V. IV, CHAP. I.— COURBES EN COORDONNÉES RECUL

il est facile de concevoir qu’il en est ainsi aux points

multiples d’une courbe algébrique quelconque. En effet, la valeur de y1 est donnée par la formule

Or, f(x,y) étant un polynôme entier par rapport aux variables x et y, les dérivées partielles flix, y), fh (x,y) sont aussi des polynômes entiers par rapport aux mêmes variables. Si ces polynômes ne devenaient pas nuis, lorsqu’on y remplace x et y par les coordonnées du point multiple, aurait en ce point une valeur unique, tandis qu’elle doit avoir autant de valeurs différentes qu’il y a de branches qui passent au point multiple. Dans le cas actuel, l’équation étant bicarrée peut être résolue par rapport à y ; à chaque valeur de y correspond une dérivée qui a une valeur déterminée, quand on y remplace x par zéro. Cette valeur dp la dérivée est, ainsi que nous l'avons re-

marqué au n° 298, la limite du rapport lorsque x tend

vers zéro. On peut obtenir plus simplement la limite de ce

rapport sans résoudre l’équation. Posons -=t, ou y= tx; en

substituant dans l’équation (1), il vient

x' ' t ‘ + 2 (as* + c *) t * + x' — 2 c ' = 0.

Lorsque x est très-petit, l’une des valeurs de t 1 est voisine de l’unité, l’autre est négative et très-grande ; donc, en se bornant

aux valeurs réelles de y, on

a limite — =± 1. Les tan-

gentes au point O sont les bissectrices des angles des axes.

3° a>e. La seconde condition est encore satisfaite quelle que soit x , qui peut

varier de’ — /c’ + a* à

+ / c’ + fl*. Pour x=0, la valeur positive de y * est a’ — c*.

Prenons, sur l'axe des y, OB=OB'= / o’—c*, la courbe passe par les deux points B et B' (flg. 165). Si l’on Tait varier x de 0 à

/«* + <**, y* part de a*— c* et devient nul; le lieu est une courbe fermée qui a pour sommets les points A, A', B, B'.

Pour que le cercle coupe la courbe, il faut que l’on ait a<ck'¥. Lorsque cette condition est satisfaite, l’ordonnée croît de B en C et diminue de C en A; l’ordonnée du point B est minimum, celle du point C maximum.

Si, au contraire, on a le cercle est intérieur à la

courbe, dont l’ordonnée diminue de B en A (flg. 166); l’ordonnée du point B est maximum. Dans ce cas on - donne à la courbe le nom d’ovaleeie Cassini. La figure suppose’ que a est égal à

Fig. 186.

301 — Exemple II. Construire la courbe (1) iyi — 5xyt + xl=0.

Cette équation , étant du cinquième degré par rapport à chacune des variables, ne peut être résolue par rapport à aucune d’elles ; elle ne renferme que des termes de degrés impairs; donc l’origine est centre de la courbe. Examinons combien l’équation, dans laquelle on considère y comme étant l’inconnue, a de racines réelles pour les diverses valeurs attribuées à x.

Supposons d'abord x positive, l’équation (1) aura au plus deux racines, réelles positives, puisque son premier membre n’a que deux variations. La dérivée du premier membre par rapport à y est

iOy(y* — #)•

Cette dérivée est négative depuis y =0 jusqu’à y=iAr,