Exemple Construire la courbe

Donnons à x une valeur positive très-petite, y est positif et

très-grand; x croissant de 0 à + », y décroît constamment de » à 1 ; ce qui donne une branche AC (fig. 174) , asymptote d’une part à OY, d’autre part à la droite G'G menée parallèlement à OX et V '"[\ * à une distance de cette droite

Fig. i7*. égale à l’unité. Quand on donne

à x une valeur négative très-petite numériquement, y est positif et très-petit, x variant de O à — » , y croit constamment de 0 à 1; on a ainsi une branche OD partant de l’origine et asymptote à la droite BG'.

Cette courbe présente une particularité que nous n’avons pas encore rencontrée; la branche DO s’arrête brusquement

L1V. IV, Cil A P. II. —CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ. 273

au point 0 ; on donne aux points de cette espèce le nom de points d'arrêt.

Pour avoir le sens de la concavité, prenons d’abord la dérivée première ; on a

Lorsque x varie de 0 à », les deux Fadeurs — et e * dimi-

nuent; à cause du signe —, y 'augmente; la concavité de la branche AC est tournée vers les y positifs ; x variant de — » \ i

à 0, le facteur —j augmente, le facteur e* diminue; on ne sait

pas immédiatement comment varie y’; la dérivée seconde va nous l’apprendre. On a

Quand x varie de — » à — la dérivée seconde est négative; prenons OP égal à et soit M le point correspondant de la

courbe; l’arc DM a sa concavité dirigée vers les y négatifs; x

croissant de — — à 0, y" est positif, l’arc MO est concave vers les y positifs et le point M est un point d’inflexion.

313— Remarque.— On ne voit pas, d’après la formule (2), ce que devient le coefficient angulaire de la tangente quand x

est négatif et très-petit numériquement. Posons x= — -, m

étant très-grand, la valeur numérique de y' prendra la m*

forme Donnons d’abord à m des valeursentieres, et comme

em

e est plus grand que l’unité, posonse = l +a ; on a

d’où

+ T~ar-Bt+

tn

v ml

\ mj

si m augmente indéfiniment, on voit que — croît au delà de

toute limite. Lorsque m est fractionnaire, il est compris entre deux entiers consécutifs n et n + 1; il en résulte

gn g în

(n+l)* <~inr<~iF'

— , étant compris entre deux nombres très-grands est lui-

même très-grand; ainsi de quelque façon que m augmente

indéfiniment, — r croît au delà de toute limite. Un raisonné

nement analogue est applicable à —, quel que soit le nombre positif p.

Le rapport inverse — tend donc vers zéro, lorsque m aug-

mente indéfiniment. Ainsi la tangente au point O de la branche OD est l’axe OX'.

313— Considérons le cas où l’équation de la courbe

n’est résolue par rapport à aucune des variables x et y ; la dérivée y1 est donnée par l’équation

(2) f*(x, y) + fl(x,y)ÿ=0.

Puisque y et y1 sont deux fonctions de x, le premier membre de l’équation (2) est une fonction composée de la variable indépendante x ; cette fonction a pour dérivée

comme elle est constamment nulle, sa dérivée est aussi nulle et l’on a l’équation

(3) pe+tfctf +/W+/îy"= 0, qui donne la valeur de y7. Si l’on remplace, dans cette équation, y1 par sa valeur tirée de l’équation (2), il vient

rAM-î&nn+rt-w*)'