X- xt
par rapport à l’ordonnée qui correspond à x=-^- Quand x croit de x à 2x, y devient négatif, et l’on obtient l’arc CBO égal
au premier. De 2tt à -iir, l’ordonnée reprend les mêmes valeurs que de 0 A 2tt, de même de iit à 6^, elc. Ainsi la courbe se compose d’une infinité d’ondulations égales.
Le coefficient angulaire de la tangente est donné par la formule
y1 = cos x ;
A l’origine, ^ = 1, la tangente est la bissectrice de l’angle Y’OX des axes. Au pointe, i/-= — 1, la tangente est parallèle à
l’autre bissectrice. Pour la dérivée s'annule et de
positive devient négative; l’ordonnée du point A est maxi-
muni. Pour x=3—, la dérivée s’annule également, de négative devenant positive ; l’ordonnée du point B est minimum.
Quand x varie de 0 à *, le coefficient angulaire de la tangente cosx décroît constamment, la concavité est tournée vers les y négatifs; de * à 2*, le cosinus augmente, la concavité est dérigée vers les y positifs, le point C est un point d’inflexion.
11 est à remarquer que cette courbe a une infinité de centres, situés à égale distance les uns des autres, sur l’axe X'X, les points 0, C, CK, dont les abscisses sont les mul-
tiples de ir. Chacun d’eux est un point d’inflexion.
309— Exemple III. Construire la courbe {y — x,)t—xt=zO, ou
Les valeurs de y ne sont réelles que lorsque x est positif. Prenons d’abord le signe + devant le radical; la fonction
y = a:> + a:ï augmente de 0 à l’infini, quand x varie de
0 à ». La dérivée y'=%x + -x1 part de 0 et augmente aussi
constamment, on a donc une branche infinie OD tangente en Oà l’axe OX et qui tourne sa concavité vers les y positifs. Prenons maintenant le signe —devant le radical ; la valeur de
LIV. IV, CHAP. II.— CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ. 27.1 y est positive de 0 à 1, et négative au delà. Portons sur OX une longueur OA égale à l’unité , la courbe passe en A. La
l\ dérivée y/=2x— -x*, nulle au point
/ O, est positive tant que x reste moindre
que — , et négative quand x dépasse
Fig. 171. • ce nombre; l'ordonnée MP, qui cor- * 0
respond à -j est maximum, et la tangente en M est parallèle à
OX. La dérivée seconde 2 reste positive depuis 0 jus-
qu’à , négative au delà ; le point N, qui correspond à
l’abscisse -- est un point d’inflexion ; de 0 en N, la concavité 2^0
est tournée vers les y positifs ; au delà, elle est tournée vers les y négatifs.
Deux branches de la courbe sont tangentes au point 0 à la droite OX, sans être la continuation l’une de l’autre ; les points qui offrent cette particularité se nomment points de rebroussement. Dans cette courbe, les deux branches sont du même côté de la tangente. En considérant la courbe (y — x*)* — xs=:0,
on aurait deux branches situées de part et d’autre de la tangente; la cissoïde présente à son sommet A (fig. 20) un rebroussement de cette sorte.
310— Exemple IV.— Soit la courbe
(i) y= %(ea+e"j
On suppose que a désigne une ligne donnée ; alors l’équation (t) est homogène et définit une courbe, a laquelle on a donné le nom de chaînette, parce que c’est la courbe que forme un fil flexible pesant, dont les extrémités ‘sont attachées à deux points fixes.
BB. 11
L’équation (t) donne des valeurs de y égales pour deux valeurs de x égales et de signes contraires, la droite OY est
un axe de la courbe. Quand x varie de 0 à » , le terme e -
* v augmente, mais le terme ea dimi-
\ nue ; pour savoir comment varie y,
\ / prenons la dérivée. On a
Cette dérivée est positive pour toutes Fis * 73- les valeurs positives de x ; donc quand
x Croit de 0 à », la valeur de y augmente constamment de o à », ce qui donne une branche infinie BC (fig. 173;; ou obtient la branche BC' symétrique par rapport à OY en donnant à x des valeurs négatives.
La valeur de y* augmente constamment quand x varie de — » à -J- », la courbe a sa concavité tournée vers les y positifs.
