LIV. IV, CHAI’. III. — ASYMPTOTES
la différence y — ex ; lorsque cetle différence ne tend pas vers une limite finie, la branche n'a pas d’asymptote; si, au contraire, elle tend vers la limite d, on aura y — cx=d + S,
S tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment; donc la droite
y,x=cx + d
sera asymptote de la branche que l’on étudie.
331 — Exemple 1.— Construire la courbe
rapportée à des axes de coordonnées rectangulaires. L’axe OX est axe de la courbe. Lorsque x varie de 0 à l’unité, y reste fini; il est d’abord nul et redevient égal à zéro; on a ainsi la boucle OAO (fig. 177). Pour les valeurs de x comprises entre 1 et 2, y est imaginaire. Quand x dén, passe 2 d’une petite quantité, y est réel et très-grand ; si donc on prend OB égal à 2 et que l’on mène G'G parallèle à O Y, cette droite sera asymptote de deux branches de la courbe.
Si l’on fait croître y à partir de 2, y commence par diminuer et redevient très-grand quand x est grand ; on obtient ainsi les deux branches CN'D, C'N'D'. Lorsque x est négatif, y est toujours réel ; x variant de O à — oo , la valeur numérique de y varie égale- FlC l"’ ment de 0 à » , et l’on a les deux bran-
ches OE, OE'.
Considérons l’une des branches infinies, ND par exemple, on l’obtient en prenant le signe -f dans l’équation (t) et en supposante positif et très-grand. On a
la limite de -- est l’unité. On a ensuite
lV x 2 J
et, en multipliant les deux termes par la somme des radicaux
J x— 2(^x — I + Ux— 2)
la limite est — ; donc la droite
est asymptote de la branche considérée.
La même droite est asymptote de la branche OE' ; à cause de la symétrie de la ligure, les deux branches N'iy et OE ont pour asymptote la droite
3**— Exemple IL— Construire la courbe y’ + x’=i.
La bissectrice de l'angle YOX est axe de la courbe. A chaque valeur réelle de x correspond une valeur réelle de y et une seule; la courbe est formée de deux branches qui s’étendent à l’infini, l’un du côté des x positifs, l’autre du côté des x négatifs (flg. 178).
Considérons la branche AD, on a
Quand x est positif et très-grand, y est négatif et très-grand numériquement ; donc y -f- x a pour limite zéro, et la droite
