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est asymptote de la branche AD, et par suite de la franche BE.

393 — Exemple III. — Construire la courbe

Les branches de la courbe sont disposées comme celles de la figure 177. Les branches qui correspondent aux valeurs de x très -grandes numériquement n’ont pas d’asymptote, parce

que la valeur numérique du rapport — croit au delà de toute

limite, en même temps que x.

334 — Exemple IV. — Considérons la courbe ! y‘ — y’x + x’ — 2x,y=0)

construite au n” 303. Nous avons exprimé les deux coordonnées x et y à l’aide de la variable auxiliaire t=-. On obtient

les deux branches OA et OB en faisant croître indéfiniment la valeur numérique de t; elles n’ont pas d’asymptote. On obtient les deux branches infinies OBetOC, quand t tend vers

l’unité. Pour ces branches, on a lim = Cherchons si la dif-

férence y — x a une limite. Les formules (2) et (3), par lesquelles on exprime x et y au moyen de t donnent

celte différence tend vers l’unité, quand t tend vers la même limite. 11 en résulte que les deux branches considérées ont pour asymptote la droite

333— Exemple V.— Soit la chaînette construite au n° 310.

D’après la remarque n°3l2, le rapport — croît indéfiniment avec x; la chaînette n’a pas d’asymptote.

330 — Considérons maintenant le cas où l’équation, supposée

it*0 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

algébrique el entière, n’est pas résolue par rapport à la variable y. Réunissons les termes du même; degré ; représentons par <p (x,y) l’ensemble des termes du degré le plus élevé m, par |(dr,i/) l’ensemble des termes du degré tu — 1, par y y) les termes du degré m — 2...., l’équation s’écrira

Désignons par u le rapport - » et dans l’équation (t) rem-

plaçons y par u* ; le polynôme ?(x,y), homogène et du degré m en x et y, renfermera le facteur xm commun à tous ses termes, et l’on aura (p(*,ÿ)=^'"?(l> «)> ou, Pour abréger, <f(x,y)=xm^(u). De même, les polynômes >1 <(x,y),x(x,y) .... deviendront x'rl'j<(a), ar"‘iy (m).... L’équation entre x el w sera donc

2,mf(u) + a:m 4ij/(u)-f-x",-3x(u) + ....=0.

et, si l’on divise par xm,

(2) ?(u)+I*(«) + lx(u)+.... = 0.

it JC

Cette équation est par rapport à u du même degré que l’équation (t) par rapport à y; elle donne pour chaque valeur

de x les diverses valeurs du rapport — -Uuand la valeur nu-

mérique de x augmente indéfiniment, si Tune des valeurs de u tend vers une limite finie. c, pour un couple de valeurs, dans lequel x est très-grand et u voisin de c, tous les termes de l’équation (2), à partir du second, étant très-petits, on en conclut que le nombre c doit annuler le polynôme (m). Ainsi les coefficients angulaires des asymptotes sont racines réelles de l’équation

Soit c Tune des racines réelles de cette équation. Posons y—cx=v,

d’où

Si dans l’équation (2) on remplace « par cette valeur, on

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obtient l’équation qui donne les valeurs de v pour chaque valeurdex. Après avoir fait la substitution, développons chaque terme, l’équation devient

Puisque l’on a 9(c)=0, multiplions par x tous le termes, cette équation prendra la forme

[»?'W+<Hc)| +A l+B-i.... = 0.

L J JC JO i

Quand x augmente indéfiniment, si Tune des valeurs de v tend vers une limite finie <1, comme un couple de valeurs dans lequel x est très-grand et v voisin de d rend tous les termes à partir du second très-petits, on en conclut que le nombre d doit satisfaire à l'équation

d’où Ton tire pour d une valeur unique

Lorsque la valeur de c annule <p'(c) sans annuler ^(c), aucune des valeurs de v ne tend vers une limite finie, quand x augmente indéfiniment. Si une valeur de e annule en même temps ÿ(c ) et ■}(<:), l’équation (4), multipliée par x’, prend la forme

Dans ce cas, en général, deux valeurs de e tendent vers des limites finies, lorsque x augmente indéfiniment; ces limites sont les racines de l’équation

(6) -^•■+fM«+x(e)=o.

327 — Devenons à l'équation (4), et supposons que c soit

une racine simple de l'équation <p(c)=0. Le raisonnement du n° 316 prouve que lorsque v tend vers la quantité d, définie par la formule (5), sans annuler le polynôme (6), une valeur réelle de x et une seule augmente indéfiniment ; de plus cette

valeur change de signe quand «passe par la valeur d. Si OC' est la droite qui a pour équation y=cx, on aura t )=y — cx=MQ, et en construisant la courbe à l’aide des coordonnées x et v, on voit que la courbe a deux branches infinies, asymptotes à la droileque l’on obtient en portantsurOY une longueur OB égale à d, et en menant par le point B une ligne CD parallèle à C'iy. Les deux brandies sont dirigées vers les deux extrémités de la droite, et elles sont situées de part et d’autre de la droite. Cette droite a pour équation

ÿ,=ca: + d.

Ainsi toute racine simple de l’équation (3) qui n'annule pas le polynôme (6), donne une asymptote et une seule.

La discussion relative aux racines multiples, ou aux racines simples qui annulent le polynôme (6), demande des développements plus étendus; on reconnaît qu’une droite qui correspond à une racine pareille n'est pas toujours une asymptote de la courbe.

328 — L’équation (3) est au plus du degré n par rapport à u, puisque le plus haut exposant de y dans l’équation (1) est n; à une racine simple de celte équation correspond une asymptote; à une racine double au plus deux, etc. ... ; donc la courbe a au plus n asymptotes non parallèles à l’axe des y. D’ailleurs, d’après ce qui a été vu au n» 316, la courbe a au plus m— n asymptotes parallèles à la même droite. Ainsi, une courbe de l’ordre m a au plus m asymptotes.

329— Remarque. — Si Ion cherche les points de rencontre de l’asymptote