PARABOLE
La parabole est une courbe dont chacun des points est également distant d’un point fixe nommé foyer et d’une droite fixe appelée directrice,
Il est lacile de construire la parabole par points. Soit T’ le foyer, DD' la directrice (fig. 46); menez par le foyer une droite DB perpendiculaire à la directrice; le point A, milieu de FD, est un premier point de la parabole. Tracez une série de droites parallèles à la directrice, à une -‘IJ F; jr ! distance plus grande que AD. Soit P le U ; point où l’une d’elles rencontre la droite
DB; du foyer F, avec une ouverture de M ' compas égale à DP, décrivez un cercle qui FiK. <6. coupera la parallèle en deux points M et JT, appartenant à la parabole. Car la perpendiculaire ME abaissée du point M sur la directrice est égale à DP, et, par suite, au rayon MF; le point M, étant également distant du foyer et de la directrice, est un point de la parabole.
Répétez cette même construction pour chaque parallèle, et quand vous aurez déterminé ainsi uu nombre suffisant de points, vous ferez passer à la main un trait continu par tous ces points.
La droite DB, menée par le foyer per|>endiculairemcnt à la directrice, est un axe de la parabole ; car, d’après la construction, la corde MM’ est perpendiculaire sur DB et divisée au point P en deux parties égales. Si donc on fait tourner la partie supérieure de la parabole autour de la droite DB, pour la rabattre de l’autre côté; la droite PM s’appliquera sur PM', le point M en M'. Comme il en est de même pour tous les points deux à deux, on voit que la partie supérieure coïncidera exactement avec la partie inférieure. Donc la droite DB est axe de la parabole.
Le point A, milieu de FD, est le sommet de la |iarabole.
La parabole n’est pas une courbe fermée comme l’ellipse; elle se compose d’une branche qui se prolonge indéfiniment. Les dimensions de la parabole dépendent de la distance du foyer à la directrice, distance que Ton appelle paramétre de la parabole; quand cette distance est très-|ietite, les deux branches de la parabole sont très-rapprochées Tune de l'autre. Elles
LIV. I, CHAP. II.— EXEMPLES, s’écartent el la parabole s’ouvre d’autant plus que ce paramètre est plus grand.
95 — On peut aussi tracer la parabole d’un mouvement continu. Placez une règle sur la directrice 1)1)' (fig. 17); appliquez contre la règle une équerre GHK; au sommet G attachez un 01 d’une longueur égale au côté GH de l’équerre, l’autre extrémité étant attachée au foyer F; tendez le fl! contre l’équerre avec un crayon, puis faites glisser l’équerre le long de la règle, et, en même temps, le crayon le long de l’équerre de manière à tenir le fil constamment tendu ; vous décrirez un arc de parabole. En effet, Fi*. (7. soit M le point où se trouve le crayon quand l’équerre occupe la position GHK; la longueur du fil ou la ligne brisée GM + MF étant égale au côté GH de l’équerre, la distance MF égale MU, et, par conséquent, le point M appartient à la parabole.
96 — La définition de la parabole indique un système de
coordonnées dont nous n’avons point encore parlé. On peut déterminer un point quelconque M du plan par ses distances MF el ME au foyer F et à la directrice DD' (fig. 18); la position du point M sera donnée parl’intcrsection d’un cercle décrit du foyer comme centre et d’une droite parallèle a la directrice. Si l’on appelle u et c les deux coordonnées du point M, la parabole aura
Fig. I«.
pour équation dans ce système
Prenons maintenant pour origine des coordonnées rectilignes le sommet A de la parabole, pour axe des x l’axe AX de la parabole, et pour axe des y une perpendiculaire AY. En
18 GEOMÉTHIE ANALYÎlUt’Ë.
désignant par p la distance FD du foyer à la directrice, on a
r=AP + AD=x+|,
U = l/y*+(«— , èt l’équation de la parabole devient
du
(2) y' = %px.
2 i — Avant d’aller plus loin nous dirons comment on défini! la tangente à une courbe quelconque. En géométrie
élémentaire, on appelle ordi- ; — — * m mûrement tangente au cercle
/ ' \ une droite indéfinie , qui n’a
fie- qu’un point commun avec la circonférence; niais celle définition n’étant pas susceptible d’être généralisée, il convient de définir la tangente d’une autre manière. Soit M un point donné sur une courbe (lig. 19); par ce pointe! un point voisin M’, menons une droite indéfinie; imaginons maintenant que le point M’ se rapproche indéfiniment du puiul M, la droite Mil’ tendra vers une position limite Ait. C’est cette droite MT que l’on appelle tangente à la courbe au poiiil M.
11 est aisé de voir, d’après celte définition, que la tangente au cercle au point .M est perpendiculaire T à l’extrémité du rayon OM ; car, dans le triangle isocèle MOM’, l’angle OMM’ est
égal à un àiigle droit, moins la moitié de ) l’angle au centre MOM’; quand le point M. sé rapproche indéfiniment du point Al, l’angle ntt ccittre tend vers zéro, et
l’autre devient droit.
CISSOÏDE DE DIOCLÊS.
28— Étant donnés un cercle, un diamètre AB, une langente
L1Y. I, Cil Al*. II.— EXEMPLES. l!)
BC a l'extrémité de ce diamètre (fig. 20': si du point A on mène
une sécante mobile AE, sur laquelle on porte à partir du point A une longueur AM égale à la portion DE de la sécante comprise entre le cercle et la tangente fixe, le lieu du point M est une courbe qui porte le nom de Cissoïde.
Si l’on suppose que la sécante mobile parte de la position ABet tourne autour du point A, de AX vers la perpendiculaire A Y, la longueur DE et par suite AM augmentera indéfiniment ; le point M décrira une branche de courbe infinie AMM'. Si l’on fait tourner la sécante mobile de l’anire côté de AB, on obtiendra évidemment une seconde branche égale à la première.
La droite AB est un axe de la courbe, puisque les deux branches sout symétriques par rapport à celte droite. Le point A est un sommet.
La tangente aux deux brandit s au sommet A coïncide avec l'axe. Car, si la sécante AM tourne autour du point A de manièie à ce que la corde AM ou DE devienne nulle, elle tend vers la position limite AB; donc AB est la tangente en A.
On peut voir aussi que les deux branches de courbe se rapprochent indéfiniment de la droite CG'. En effet, considérons la sécante dans la position AE'; si de la longueur totale AE' on retranche alternativement les deux longueurs égales AM' et D E', on a M'E'— AD . La corde AD' diminuant de plus en plus et tendant vers zéro, il en est de même de la longueur 31E', et, à plus forte raison, de la perpendiculaire M'H. Celle droite CC', dont la courbe se rapproche indéfiniment, s’appelle une asymptote.
La cissoïde a été imaginée par le géomètre grec Dioclès,
pour résoudre le problème de la construction de deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données.
Pif!- SI-
29— Cherchons l’équation de la cissoïde en coordonnées polaires; prenons le point A pour pôle et la droite AB pour axe polaire. Appelons a le diamètre du cercle donné, p et w les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe (fig. 21). Dans les triangles rectangles ABE, ABU. on a
rosi-i
A!)=aro.so» ;
d’où
P=DE=AE — AD— acu.u •> —
r cos tu
a sin-bt cos eu
Ainsi la cissoïde est représentée en coordonnées polaires par l'équation
Cherchons maintenant l’équation en coordonnées rectilignes; prenons le point A |>our origine, la droite AB pour axe des x et une perpendiculaire pour axe îles y. Dans le triangle rectangle MAP on a
x — p cos iu, )/=pstiicu, p,=x,-\-y'Æ,
si, dans l’équation (t), on remplace d’abord cos w par -, sin u»
par — ,' ce qui donne P
p*.r=ay* ,
puis p* par x 1 + y *, on arrive à l’équation de la cissoïde en coordonnées rectilignes
30 — Proposons-nous de construire, au moyen de son équa
