IC . TC
- a 3—. p reste négatif, il est d abord nul et redevient égal
à zéro; on obtient de la sorte la boucle OBO. Enfin, « variant
it ,
de 3- a n, p est positif et varie de u à 2, ce qui donne l’arc OC.
Cherchons si les branches infinies ont des asymptotes. On a, pour un point de l’une des branches CD ou AO,
« — ^=COS2i»>;
lorsque o> tend vers - » MR tend vers cou — ou vers - : ainsi il •> 3 2
hh. 2u
MK
=psm (
y a une asymptote placée à la distance 5 de QQ. De plus,
lorsque u» croit de 0 à coi i w décroît constamment;
donc l’arc CD est situé en dehors de la partie du plan comprise entre l’asymptole et la parallèle QQ'. De même, lorsque
w décroît de — à — , cos 2 « augmente et l’on voit que l’arc
OA est compris entre les deux droites.
Exemple VII. — Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d’un point donné P aux diverses courbes du second degré ayant pour foyers deux points donnés F et F'.
Prenons pour axes la droite F'F et la pependiculaire élevée à cette droite en son point milieu ; l’équation générale des coniques ayant pour foyers les points F et F' est x * v*
c désignant la distance OF et a un paramètre variable; lorsque
a est plus grand que c, la courbe est une ellipse, et lorsque a est plus petit que c (fig. 197) , c’est une hyperbole. Soient a, pies coordonnées du point donné P ; l’équation de la corde des contacts des tangentes menées du point P à la conique (1) est
On obtient l’équation du lieu en éliminant le paramètre a entre les équations (1) et (2). Si l’on retranche ces équations membre à membre, il vient
x'—*x ïy' — py
L1V. VI, CHAP. IV.— COLRBES EN COORDON. POLAIRES. 307 d’où
'x'+y'-tx- p»/' " ” x* + y'—ax—py’
en subslituant dans l'équation (1) , on obtient l’équation du lieu
<3) (aP + y1 — ax— py) (px — ay| -f c*(x— «) (y— p)=0- Le lieu est du troisième degré, il passe par le point donné P, par les foyers F, F', et par les projections du point P sur les deux droites OX, OY.
En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes au
point P, l’équation du lieu devient
(4) (x’ + y’+ax + py) (px-aÿ)+e*xy = 0.
Si l’on transforme celle-ci en coordonnées polaires, en prenant
pour pôle le point P, et la droite PX' pour axe polaire, on a
(P* — a * 4- c*) sin ot cos w — a 6 (sin* <•» — cos ’ o>)
r asinto — p COS w
On obtient tous les points du lieu en faisant varier wdi 0 à ir.
Le dénominateur s’annule pour la valeur g de «a déterminée par
la formule langY-~-', celte valeur donne la droite qui va du
point P à l’ancienne origine O. Si l’on égale le numérateur à zéro, en divisant par cos’w, on a une équation du second degré par rapport à tang «j ; les deux racines sont réelles et déterminent deux droites rectangulaires. Comme le résultat
de la substitution de - à la place de tang w daus le premier
Ot
membre de l’équation
«plany’oi — (p* — a* + c’) tang <•> — ap=o est négatif (on suppose a et p positifs), la racine jio-
silive est plus grande que — ; par conséquent les droites
Pü> Pty , qui corres|*oudent aux valeurs X, X' de w qui annulent le numérateur, et la droite PO sont disposées, comme l’indique la ligure.
Lorsque w varie de 0 à g , p est négatif , on a la branche infinie BF' ; de jr à X, p est positif , on a la branche infinie CP ; de
X à X', p est négatif et l’on obtient la boucle PAFP ; enfin, de X' à it, p redevient positif et l’on trouve l’arc PB. Les branches infinies ont une asymptote dont la distance à OP est
c’ ap
En changeant la direction de l’axe polaire, on ramène facilement l’équation (5) à la forme
cosii»
r sm(w— U,)
discutée dans l’exemple précédent.
348 — Exemple VIII. — Construire la courbe donnée par f équation
La v .leur de p s’annule pour w =0, et devient infinie pour wT-i ; menons par le pôle la droite L'L , qui fait avec
l’axe polaire l’angle dont la mesure est — . Lorsque « varie de
JL
0 à p est négatif et varie de 0 à — ao , on a une branche infinie OA'B', tangente à l’axe polaire et comprise dans l’angle X'OL'. Quand w dépasse ^ et croît do 4- à ao , p devient posi-
tif et décroît de ao à a, on i' obtient ainsi une première 'i. branche infinie AB, puis une seconde AE qui fait une infinité de circonvolutions autour du cercle décrit du pôle comme centre, avec a pour rayon, en se rapprochantconstammentducercle.
Quand u> varie de 0 à — ac , a reste oositif et va en croissant de
Fig. 198,
L1V. IV, CHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES. 309 0 à a, ce qui donne la branche OE' intérieure au cercle qui fait une infinité de circonvolutions en se rapprochant constamment du cercle.
Considérons l’une des branches infinies A'B', AB, la distance d’un point de l’une de ces branches à la droite L'L est donnée par la formule
la limite de cette expression, lorsque « tend vers— > est .
Les deux branches A'B', AB ont pour asymptote la droite CD, distante de L'L de
349 — Exemple IX.— Hyperbole. L'équation polaire de cette courbe est (n° 260)
? t -fecoiü»’
dans laquelle e est plus grand que t. Soit a l’angle dont le cosinus est — quand « croît de 0 à a, p croît de— à « ,on
a la branche A'E' ; u allant de a d / à tc, p devient négatif et varie
de — oo a — - — , on a la branche
E'A'. Les valeurs de «, comprises entre tc et 2tc, donnent deux branches symétriques des précédentes par rapport à l’axe polaire. La distance MK d’un point de l'une des branches AE, A’E' à la droite OL est
p sin (a — m) p sin (*— w)
MK = =
