COS lu e ( COS o> — COS a
Cette distance a pour limite
esta a l/«’ — 1 ’
On obtient ainsi l’asymptote CI). Les deux autres branches ont pour asymptote la droite symétrique do CD par rapport à l’axe polaire.
On voit immédiatement la position de la branche AE par rapport à sou asymptote , car lorsque w tend vers « en croissant , le numérateur dans l’expression de MK va en croissant, tandis que le dénominateur va en décroissant; la distance MK va donc en augmentant, et par conséquent la branche AE est située entre l’asymptote et la parallèle OL. On ne voit pas aussi facilement la position de la branche A'E'; car lorsque « tend vers * en décroissant, les deux termes de la fraction augmentent et on ne sait pas immédiatement dans quel sens celle-ci varie. Appelons 8 la différence entre la perpendiculaire MK et sa limite, on a
esina
e'sina sin
Quand « est plus grand que «, la différence 8 est positive, et par conséquent la branche A'E7 est située en dehors de la partie du plan comprise entre l’asymptoto et la parallèle.
350 — Exemple X. — Construire la courbe
2 sin i
sin b>
Le rayon vecteur reprenant la même valeur quand on augmente w de de 2n, il suffit défaire varier o>de0à2w. Pour que le rayon vecteur soit réel, il faut que la fraction placée
LIV. IV,CHAP.IV.— COURBES EN COOHDON. POLAIRES. 3U sous le radical soit positive. Le numérateur change dé signe
pour les valeurs—» attribuées à », le dénominateur
DO
pour les valeurs 0 et * ; en rangeant les angles par ordre dé grandeur
5ïï
on voit que la quantité placée sous le radical est négative de 0 à —, positive de — à —, négative de^-à u , positive de
jt
Fig. ÎOO.
* à 2*; on obtiendra donc toute la courbe, en faisant , te , Bit . ,
varier o» de— a—» et de * a 6 b
2ir. On remarque d’ailleurs que les valeurs supplémentaires de <a reproduisant les mêmes valeurs de p,la courbe est symétrique par rapport à la perpendiculaire OY à l’axe
polaire OX (fig. 200).
Du pôle comme centre, avec un rayon égal à l’unité, décrivons un cercle ; ce cercle divisera en deux parties égales chacune des cordes qui passent par le centre ; quand to varie de
g- à -^-,'la valeur du radical, que nous désignerons parp,,
en posant p = i ± p, , croît de ü à i , ce qui donue les deux arcs AB et AO, qui se raccordent au point A, tangentiellement à la droite OA ; l’arc AO est tangent au point O à la droite ÔŸ.
En faisant varier « de à , on obtiendra la partie BA'O,
symétrique de BAO par rapport à la droite OY.
Quand m varie de w à , p, décroît de «o à y/T; ce qui donne les deux branches infinies EF cl CD ; en faisaut varier
u de ~ à 2*, on obtiendra les deux branches FE', DC', symé-
triques des précédentes; ces branches infinies sont asymptotes à l'axe polaire.
r 351— Remarque — La distance variable MK d'un point M d’une branche infinie (fig.tOS’i à la direction OL, pour laquelle p devient infini, a pour expression
±psin — a);
quand u> s’approche de a, le premier facteur croît indéfiniment et le second tend vers zéro. Dans les exemples précédents, on a pu découvrir sans peine ce que devenait ce produit pour des valeurs de w voisines de « ; lorsqu'il n’en est pas ainsi, on a recours à la règle suivante.
Le produit peut s’écrire
sin (a — a) ' p
Le premier facteur a pour limite l’unité ; si l’on considère —
comme une fonction de w, le numérateur du second est l’accroissement de — quand l’angle polaire passe de la valeur a à P
la valeur a,; le diviseur étant l’accroissement de l’angle, le rap-
port a pour limite la valeur de la dérivée de - , considérée
comme une fonction de w, quand on y remplace o> par o. Lorsque celte dérivée est nulle , la branche considérée n’a pas d’asymptote ; si la dérivée a une valeur d différente de zéro, la
branche a une asymptote, située à la distance^ de la droite OL.
EXERCICES
1° Trouver le lieu du sommet d’une parabole variable qui a un foyer fixe et qui touche une conique de même foyer (conchoïde).
2" Trouver le lieu du sommet d’un triangle variable, dont la base a est fixe, et dont les deux autres côtés b et c et la mé-
LIV.1V, CHAP. IV.— COURBES ENCOORDON. POLAIRES. 313 diane correspondante m vérifient la relation 6 — c=m/ 3 (lemniscate).
3° On donne un point fixe O et une droite fixe OP ; on demande le lieu du sommet M d'un triangle variable MON qui remplit les conditions suivantes : le côté ON a une longueur
constante a, le côléNM = a v'i, enfin les angles vérifient la relation cos ( MON — 2 OMN ) =cos MOP (lemniscate ) ; démontrer que la tangente en un point quelconque M du lieu passe au centre du cercle circonscrit au triangle qui a donné ce point.
\° Le triangle ABC est inscrit dans un cercle donné, le sommet A reste fixe et l’angle A constant; on demande le lieu ou centre du cercle inscrit dans le triangle ABC (limaçon).
5“ Trouver le lieu du sommet d’un angle constant dont les deux côtés sont tangents à deux circonférences données (limaçon).
6° Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont une corde commune et une tangente commune, parallèle à cette corde.
7° On donne un cercle fixe , un cercle variable touche le premier en un point fixe; on demande le lieu du point de contact sur ce dernier cercle de la tangente commune aux deux cercles.
8® Trouver le lieu du sommet ou du foyer d’une hyperbole équilatère, dont le centre est fixe et qui passe en un point fixe.
9° Trouver le lieu du centre d’une hyperbole équilatère donnée, assujettie à passer par deux points fixes.
10° On donne un angle droit YOX, et un point fixe P sur la bissectrice de cet angle ; on demande le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur une sécante variable qui intercepte dans l’angle un triangle dont l’aire est constante.
Il» En un point quelconque M d’une parabole on mène la normale que l’on prolonge jusqu’au point N où elle rencontre l’axe ; on demande le lieu du point de rencontre de la tangente en M à la courbe avec la perpendiculaire à l’axe au point N.
12" Ou remplace la parabole du problème précédent par une hyperbole; on prend le point N sur l'un des deux axes de la courbe ; trouver le lieu.
13° Une parabole tourne autour de son foyer ; on demande le lieu des points de contact des tangentes meuées parallèlement à une droite donnée.
14° Trouver le lieu du point milieu d’une corde normale à une hyperbole donnée.
15" Étant donnée une ellipse, le centre d’un cercle de rayon constant parcourt un diamètre de l’ellipse ; trouver le lieu des poi n ts de concours des sécantes communes au cercle età l’ellipse.
IG" Étant donnée une hyperbole équilalère, le centre d’un cercle, qui passe constamment par le centre de l’hyperbole, décrit une asymptote ; trouver le lieu des points de concours des sécantes communes.
17" Lieu des points de contact des tangentes menées d’un point donné aux cercles qui touchent une droite donnée en un point donné.
18° Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné aux cercles qui passent par un point donné et qui touchent une droite donnée.
19° Trouver le lieu des milieux des cordes inscrites dans une hyperbole donnée et tangentes à un cercle concentrique à l’hyperbole.
20" Construire les lieux représentés par les équations y* — x*+2ax’y=0, x‘+y‘— 2 ay* — 26x’y = 0,
(x’+ ÿ*)’ — G axy3 — 2ax’-f 2asx!=0,
y‘ — x‘ — 2 bxy’ + 2ax3 = ü,
y‘— x‘— 96a’y*+ 100as x! = 0,
21° Construire les courbes représentées par les équations
