CONDITIONS DE SIMILITUDE DE DEUX FIGURES
360— Considérons une série de courbes de même espèce, dans la définition desquelles il n’entre qu’un paramètre linéaire A, dont nous désignerons la mesure par a, et soit
L1V. IV, CHAP. V. -DE LA SIMILITUDE. 329 W ffr,y,a) = 0,
l’équation qui représente toutes es courbes , abstraction faite de leur position dans le plan. Si l’équation (1) a été obtenue sans spécifier l'unité linéaire , elle est nécessairement homogène par rapport à x, y, a. Quand on change le paramètre linéaire A, ce qui revient, l’unité restant la même, à faire varier le nombre a , l’équation (1) définit une série de courbes homothétiques. En effet, soit A„ un paramètre ayant pour mesure a0; à ce paramètre correspond la courbe particulière
Les courbes homothétiques à la courbe (2), l’origine étant le centre d’homothétie et k un rapport arbitraire , sont représentées par l’équation (n° 360)
(3) f (kx, ky,at)=0.
Désiguons par A, un second paramètre ayant pour mesure un nombre a, , tel que k , l’équation (3) pourra s’écrire
f(kx,ky,kaù=kmf[x>y> <*,) =0,
ou
W fi*, y, a,)=o;
ce qui signifie que les courbes homothétiques à la courbe (2) sont les diverses courbes que l’on obtient en faisant varier le paramètre A.
370— En général, supposons qu'il faille n paramètres linéaires A, B.... pour définir toutes les courbes d’une même espèce, abstraction faite de leur position dans le plan; désignons par a, b, c.... les mesures de ces paramètres au moyen d’une unité arbitraire ; l’équation des courbes de l’espèce (3) f(x,y,a,b,....)=0
sera homogène par rapport à x, y, a, b, .... Les courbes définies par l’équation (S) et qui correspondent à deux séries de paramètres proportionnels A0 , B0, .... et A,, B, , ...., sont homothétiques ; car, si l’on désigne par k le rapport des paramètres
les courbes homothétiques à la courbe
f{x, y, a0, fe0, ....) = O, sont représentées par l’équation
f(kx,ky, kal,kb„....)=k"‘f(x,y,al,bi )=0,
ou
f(x, y, a,, bt, ....) = 0.
Il résulte de ce qui précède que, lorsque la courbe, abstraction faite de sa position dans le plan est définie par une seule longueur, toutes les courbes de l'espèce sont semblables. Ainsi, le cercle étant défini par son rayon, la parabole par la distance du foyer à la directrice , la lemniscate par la distance des foyers, la spirale d’Archimède par la longueur que parcourt le mobile sur la droite pendant une révolution de cette droite, toutes les circonférences sont semblables , et de même toutes les paraboles, toutes les lemniscates, etc.
L’ellipse étant définie par les deux axes, la condition de similitude de deux ellipses est que ces axes soient proportionnels, comme nous l’avons déjà reconnu au n° 363. Il en est de même de deux hyperboles.
