L1V. IV, CHAP. V.— DE LA SIMILITUDE

l’équation des mêmes courbes rapportées à des axes liés aux courbes d’une manière déterminée. Soit n le nombre total des paramètres, ou pourra toujours remplacer ce système de paramètres par un autre système, tel que les variations de trois d’entre eux, ne fassent que déplacer la courbe dans son plan, tandis que les variations des n — 3 autres changent sa forme ou ses dimensions.

S9r — Le nombre des points, et, en général, le nombre des conditions nécessaires pour déterminer complètement une courbe d’espèco donnée est égal au nombre des paramètres arbitraires que renferme l’équation générale de l’espèce. Les remarques faites, à propos des courbes du second degré (n° 274) sur les conditions multiples sont ici applicables. Toutefois, il importe de s’assurer préalablement que les paramètres qui entrent dans l’équation ne peuvent être réduits à un nombre moindre. Considérons, par exemple, le lieu des points tels que le rapport de leurs distances à deux points fixes, dont nous désignerons les coordonnées par (a, b), (a', b), soit constant et égal à k. Ce lieu, qui a pour équation

(l) (a-ar-Hy-è)’- A* [(*-<*')* + (y — 6’)*] = 0, est une circonférence de cercle. L’équation (1) renferme cinq paramètres ; mais si l’on développe et que l’on ordonne, elle devient

1 =*r*-2T=Fj'+ \-k'

Trois des coefficients seulement renferment les paramètres; si on les représente par A, B, C l’équation (2) prend la forme (3) ac* + y*+ A*+By + C=0.

Trois poinlssuffisent pour déterminer les coefficients A, B, C, et, par conséquent la circonférence. Si l’on veut ensuite obtenir a, b, a1, b1, k, on aura un système de trois équations à cinq inconnues; il y aura indétermination, et deux des inconnues pourront être prises à volonté; ceci signifie que, pour une même circonférence, on peut trouver une infinité découplés de deux points tels que le rapport des distances de chacun

GÉOMÉTKIE ANALYTIQUE.

des points de la circonférence à ces deux points fixes soit constant. Si l’on donnait quatre points, il serait, en général, impossible de déterminer les cinq quantités a, b, a1, V, k, de manière que le lieu représenté par l’équation (1) passât par ces quatre points; caron aurait quatre équations auxquelles devraient satisfaire les trois constantes A, B, C. Dans Je cas particulier où ces équations seraient compatibles, on pourrait supprimer le quatrième point.

Supposons que la courbe soit algébrique et de l’ordre m; l’équation générale du degré mentre deux variables x et y, renfermant termes, toute courbe de l’ordre m est

déterminée par^m~^~ * KOT~t~-) — ^ p0|ntg. si l’équation renferme

un plus grand nombre de paramètres, un certain nombre d’entre eux pourront être pris à volonté.

36§ — La définition géométrique d’une espèce de courbes indique elle-même le nombre des paramètres arbitraires que renferme son équation générale. La définition du cercle exige la connaissance du centre, dont la position est déterminée par ses deux coordonnées, et celle du rayon, en tout trois constantes ou paramètres arbitraires. La définition de la lemniscate exige la connaissance de deux points fixes , ce qui fait quatre constantes; pour l’ellipse, comme il faut connaître en outre la somme des rayons vecteurs , la courbe dépend de cinq paramètres. Dans la définition de la spirale d’Archimède entrent, un pôle, ce qui fait deux constantes, la position de la droite à l’instant où le mobile passe au pôle, et un rapport, en tout quatre constantes. La conchoïde dépend de cinq constantes, un point fixe et une droite fixe^ déterminés chacun par deux constantes, et une longueur.