LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

l’on suit pas à pas l’énoncé, on voit qu'il s’agit de mener des lignes d’après certaines conditions; ces lignes, par exemple, devront passer par des points déterminés, être perpendiculaires ou tangentes à d’autres lignes. Or si, au fur et à mesure, on cherche les équations de toutes ces lignes, la vérification du théorème ou la détermination des inconnues du problème, sera évidemment ramenée à une simple question algébrique. C'est ainsi que l’on a opéré dans l’élude de la ligne droite et des courbes du second degré. Mais cette méthode n’est pas toujours la plus simple, et, dans beaucoup de cas, il vaut mieux recourir à des procédés particuliers.

Quelquefois les théorèmes de la Géométrie élémentaire donnent immédiatement les équations nécessaires pour résoudre la question.

Exemple.— Trouver les trois côtés d'un triangle rectangle, connaissant la surface et le périmètre.

En représentant par a le périmètre, par S la surface, par x et y les deux côtés de l’angle droit, et par z l’hypoténuse, on a de suite, au moyen de deux théorèmes simples, les trois équations

suffisantes pour la détermination numérique des inconnues. Par une combinaison convenable, on trouve que z = — S et que a: et y sont les racines de l’équation du second degré

(2) «*”-— rr— - «+2S = 0- 2 a

Pour que le problème soit possible, il faut t° que l’on ait a’>tS; 2° que les racines de l'équation (2) soient réelles et positives. Or, ces racines ne peuvent être réelles sans être positives, puisqu’elles sont de même signe et que leur somme est positive. Si donc on a en même temps

la question admet une solution et une seule. La dernière inégalité peut se mettre sous la forme

16 [s — ^(3+2 |/îj] [s-^’(3-VT)]>0,

et pour qu’elle soit compatible avec la première on doit avoir

Ainsi parmi tous les triangles rectangles de même périmètre a, le plus grand, a une surface égale à

3 Z* — Souvent on ne connaît pas de relation immédiate entre les éléments de la figure qui entrent dans l’énoncé ; on emploie alors une ou plusieurs inconnues auxiliaires que l’on choisit dans la figure, de manière qu’il existe des relations connues entre elles et les quantités proposées. Après avoir établi un nombre suffisant d’équations, on pourra, si l’on veut, éliminer les inconnues auxiliaires, et obtenir de la sorte des équations qui ne renferment plus que les données et les inconnues cherchées.

Exemple.— On demande la diagonale BD d’un quadrilatère

inscrit ABCD dont on connaît les quatre côtés.

Représentons par a, b, c, d les quatre côtés, par x la diagonale cherchée, et prenons pour inconnues auxiliaires les deux angles opposés A et G, qui sont supplémentaires, on a les trois équations * = a’-f d'— ‘iadcosA,

x'^b'+c* — ibccos C,

A + C= iT ou cos A = — cosC,

qui, par l’élimination de A et C, donnent x* (ad+bc) = ad (b'+c^+bc (a «+d ’) = (ac+bd) ( cd+ab ) ;