LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

tives, . Comme la diagonale CD a une longueur

égalé à 2 a sin -, celle condition est />2CD. 11 en résulte

que la plus petite corde que l’on puisse tracer par le point M dans l’angle AOB est la corde P„Q, parallèle à CD et égale à 2CD. Si la longueur l est plus grande que ce minimum, on aura deux solutions, PQ, P'Q7, symétriquement placées par rapport à P„0„.

Exemple IL— Par un point M mener une droite telle que le triangle formé par cette droite et deux droites fixes AA', BB' ait une surface donnée.

Conservons les mêmes notations que dans le problème précédent et appelons S la surface donnée; on a dans tous les cas xy — ay — bx = 0.

Si la droite occupe la position PMQ, la surface S a pour valeur

xysin 9 2 '

tandis que dans les deux autres cas on a

o xytinü i — •

Les solutions du premier cas sont donc données par le système t

Ixy — ay—bx= 0,

c xysin 9

celles des deux autres cas par le système xy — ay — bx—0:

(2) c xysin d

Les solutions du second système sont toujours réelles. Quant à celles du premier, la condition de réalité est S^Vabsin 9, il en résulte que le triangle minimum formé dans l’angle AOB est déterminé par la corde partagée en deux parties égales au point M. Si la surface S est plus grande que le minimum, on a deux solutions PQ, P'Q'.

374 — Souvent les équations du problème admettent plus de systèmes de solutions réelles que n’en comporte l’énoncé; on cherche alors à modifier ce dernier , de telle sorte que chaque solution des équations corresponde à un cas du problème ; c’est ce qu'on appelle généraliser l’énoncé.

Exemple I. — Partager une droite donnée AB en moyenne et extrême raison.

Soit a la longueur donnée AB, x le plus grand segment AM, on a

ou , „

x' + ax— a =0.

Cette équation a deux racines réelles de signes contraires ;

cependant le problème,

. . • tel qu'il est proposé, n’ad-

met qu une solution, qui Fi 110> correspond à la racine

positive de l’équation. Si l’on désigne par x la racine négative, cette valeur vérifie la relation

on voit que si l’on prend la distance M A est moyenne

proportionnelle entre M B et AB. Si donc on convient de porter la racine positive à partir de A dans la direction AB et la racine dans la direction, opposée l’équation (1) résout la question suivante : Trouver sur la droite indéfinie AB un point tel que sa distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et la longueur AB.

Exemple II. — Circonscrire à un cylindre un cônedonllc volume soit égal à un volume donné V.

Désignons par r le rayon de la base, par h la hauteur du cylindre n 4(1 donné, par x la hauteur

OM, par y le rayon de la base du cône, on a