DES DIFFÉRENTS CAS D’UNE MÊME QUESTION

373 — Lorsqu’une question géométrique présente plusieurs cas différents on considère chacun d’eux comme une question particulière, et, faisant la figure qui s’y rapporte, on met le problème en équation. Ordinairement les divers systèmes d'équations obtenus de la sorte se ramènent à un seul par l’emploi des quantités négatives.

Exemple I. — Par un point M mener une droite telle que la

partie interceptée entre les deux droites données AA’, BB' ait une longueur donnée.

Appelions 6 l’angle des deux droites dans lequel est situé le point M, a et b les coordonnées de ce point par rapport aux deux droites, x et y les coordonnées des points où la droite cherchée, qui peut avoir les diverses positions P.MQ, MP"Q", MQ’"P'", rencontre les axes des coor-

données; l’équation de cette droite sera, en désignant parX

et Y les coordonnées courantes,

et puisqu’elle doit passer au point M on a la relation a h

— | =1, ou yx — ay — bx = 0.

D’autre part la longueur l s’exprime par la formule !*=x*+y’— ■ îxycos 0.

Ainsi les deux équations

lxy—ay—bx=0, ix*+y’ — 2xyco$0 — l',

au moyen des conventions faites sur les signes des coordonnées, résolvent tous les cas du problème. L’élimination de l’une des inconnues conduit à une équation du quatrième degré.

Si le point M est situé sur la bissectrice de l’angle AOB, c’està-dire si ses coordonnées a cl 6 sont égales, l’équation du quatrième degré se ramène à des équations du second degré ; mais dans ce cas il vaut mieux opérer de la manière suivante : Les équations (t) deviennent

xy — a[x + y) = 0,

(*+y)’ — ixycos'—=i 1’;

on en lire

x + y—^acos' — ±- y 4a,cos‘— -f

xy—ia'cos'— ±a y 4 a,cosl‘— + lt.

Les inconnues x et y sont donc les racines de deux équations du second degré. Celle que l’on obtient en prenant le radical avec le signe — clans les formules (2) a toujours scs racines réelles, puisque le produit xy est négatif, elle donne les deux solutions MIV/Q/', MQ/"P///, qui existent toujours. Si l’on prend le même radical avec le signe +, on trouve pour condition de réalité des deux racines qui sont alors posi-