LIV.IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

segment et un cône nuis ; si on en fait abstraction, l’équation se réduit au second degré

(2) #’ + rx— r’=0.

Cette équation est celle que l’on obtient quand on veut partager le rayon, en moyenne et extrême raison, de façon que le plus grand segment parle du centre. Elle a une racine positive plus petite que r et une racine négative numériquement plus grande que r; à-la première correspond une solution de la question ; quant à la seconde, elle donne un plan sécant qui ne rencontre pas la sphère ; donc, en se bornant à ce corps, il n’y a pas lieu de chercher une généralisation de l'énoncé primitif.

Exemple II. — Couper une sphère de rayon r par un plan, de manière que le volume du segment obtenu soit égal à celui d’une sphère de rayon a.

Supposons le plan sécant perpendiculaire au diamètre AA'; appelons x la distance OM du centre à ce plan, prise avec le signe + ou le signe — , suivant quelle est portée sur OA ou sur OA'. En évaluant le volume du segment, on a, dans tous les cas, l’équation

4 2 ir

-ira» = - itr’fr- x) — ~x(r*— «*), ou

(1) *»— 3r*aH-2(r5— 2aa)=0,

à laquelle il faut joindre les inégalités — r<Xr.

L’équation a une racine positive plus grande que r qui ne convient pas à la question. Comme o est plus petit que r, elle a une racine négative numériquement plus grande que r, qui ne convient pas non plus à la question. La troisième racine comprise entre — r et+r, donne la solution de la question.

Pour avoir un énoncé tel qu’à toute racine réelle de l’équation corresponde une solution, il faudrait employer, concurremment avec la sphère, un autre corps, l’hyperboloide de révolution à deux nappes.

Exemple III. — Trouver une circonférence telle qu’en portant, à partir de l’un de ses points, trois cordes données à la suite l'une de l’autre, mais dans un sens quelconque, on arrive au point diamétralement opposé.

Appelions x le rayon cherché, 2 a, 26, 2c les trois cordes rangées par ordre de grandeur, a>6>c; 2», 2p, 2y les angles au centre correspondants, angles positifs ou négatifs, suivant que les cordes sont portées dans un sens ou dans l’autre, on a

(1) a = — xsin<i, b=—xsin p. c=±x sinq ,

L’équation (2) donne

sin'a +si»’p + stn y’ + isjn asinpsinq — 1=0;

d’où

x ' — (a* + 6’+ c*) arT2a6c=0.

Cette dernière se décompose en deux équations qui ont leurs racines égales en valeur absolue et de signes contraires; il suffit de considérer l’une d’elles

L’équation (4) a: t°une racine positive comprise entre

a et a-f-6-f-c; 2» une racine négative comprise entre— a et — (a-f-6+c);3°uneracine négative comprise entre 0 et — c. Cette dernière doit être rejetée; les valeurs absolues des deux premières racines donnent deux cercles satisfaisant à la question. Dans le cercle qui correspond à la première, les trois cordes