LIV. IV, C.HAP. VI. -DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

sont portées dans le môme sens, et dans celui qui conrspond «à la seconde, les deux plus grandes cordes sont portées dans le même sens, et la plus petite en sens contraire; l’ordre dans lequel on porte les cordes est d’ailleurs indifférent, et il n’y a que ces deux combinaisons possibles.

37® — Quelquefois la multiplicité des racines de l'équation finale provient, non pas de ce que la question admet plusieurs solutions, ou qu’il entre dans l’équation des racines étrangères à la question, mais de ce que les équations du problème renferment les inconnues symétriquement, c’est-à-dire ne changent pas lorsqu’on permute ces inconnues ; alors l’équation finale, étant la môme pour ces diverses inconnues, les renferme toutes, et doit être par conséquent d’un degré au moins égal à leur nombre. Le problème du n° 371 présente cette circonstance, les équations sont symétriques par rapport à x cl ij, aussi on a trouvé que ces deux inconnues étaient racines d’une même équation du second degré.

Exemple. — Déterminer les côtés x, y, z, d'un triangle, connaissant sa surface S, le rayon r du cercle inscrit, et le rayon K du cercle circonscrit.

Les équations

x + y + z = 2p , p (p — T) ( p— y ) (p— s) = s *, pr= S, xyz =4RS,

obtenues au moyen de l’inconnue auxiliaire p qui désigne le demi-périmètre, étant symétriques par rapport à x, y, z, conduisent à une équation finale qui sera au moins du troisième degré, et qui, par ses diverses racines, donnera les valeurs des trois inconnues.

En effet, de la première et de la troisième, on déduit

x +y+s — — ; de la seconde, développée,

a^H-y5+3*=r,+4Rr+

On connaît ainsi la somme des produits des côtés combinés,

un à un, deux à deux, trois à trois; ces côtés sont donc les

racines de l’équation du troisième degré

(1) u* —u» + ( r* + 4Rr + — J u— 4RS = 0.

Cette équation n’a pas de racines négatives; en l’écrivant sous la forme

(2) u (u— ^ +4Rr (u— -^)+r,u=0,

on voit que - est une limite supérieure des racines ; or

est la demi-somme des racines ; donc si la condition de réalité est satisfaite, chacune d’elles étant plus petite que la demi-somme des trois ou plus petite que la somme des deux

autres, le triangle sera possible. Si l’on pose u=u'-(-— , le

• üf

second terme disparaît, et l’équation devient

(3) — g;r’ — 4Rr) vf + r- *r)=0.

La condition de réalité est

Le premier membre étant un trinôme du second degré en S’, les deux racines de l’équation obtenue, en égalant ce trinôme à zéro, doivent être réelles, sans quoi le trinôme serait constamment positif; désignons ces deux racines par S'1 et S"», on a

S',=r*[2R’+ tORr— r’+ 2(R— 2r) v¥i,R— 2r)], S"'=r*[2 R •+ 1 0 R r— r »— 2 (R— 2 r) / R (R — 2r)]. Quand ces quantités sont réelles, elles sont nécessairement positives. La condition (4) se transforme dans les suivantes R>2r, S'>S>S".

Ainsi, dans tout triangle, le rayon du cercle circonscrit est supérieur ou égal au double du rayon du cercle inscrit.

LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS. 3*3 Lorsque R=2r, la condition de réalité devient (S‘ — 27r‘)*^;0, ce qui exige que l’on ait

si elle est satisfaite, l’équation (t) se réduit à

us — 6 /3ru’+ 3Cr’u — 2i/3r3=0, ses trois racines son égales à 2 /3F, et le triangle est équilatéral.