CONSTRUCTION DES FORMULES
377 — En résolvant, si cela est possible, les équations d’un problème, on obtient des formules qui indiquent les opérations arithmétiques qu'il faut effectuer sur les nombres qui mesurent les grandeurs connues pour avoir les valeurs numériques des inconnues. Mais ne pourrait-on pas déduire de chaque formule, ou même de chaque équation, une construction graphique propre à donner, non plus la valeur numérique de l’inconnue, mais l’inconnue elle-même ? En un mot, est-il possible de remplacer les opérations numériques par des opérations graphiques? Dans la Gébmétrie élémentaire, on ne considère que les constructions qui peuvent être effectuées au moyen d’un nombre limité de lignes droites et de cercles, et qui, par conséquent, n’exigent que l’emploi de la règle et du compas. Comme le cercle est la plus simple des courbes et la plus facile à décrire, les anciens géomètres attachaient beaucoup de prix à ces sortes de constructions; d’un autre côté, ignorant l’analyse algébrique, ils manquaient de moyens pour décider si la question qu’ils avaient en vue est susceptible d’une solution de ce genre, et ce n’est qu’après avoir fait bien des efforts inutiles qu’ils se décidaient enfin à recourir à d’autres courbes. Leurs recherches ont rendu célèbres certains problèmes que l’on démontre aujourd’hui ne pouvoir être résolus par la ligne droite et le cercle. Tels sont les problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l’angle, etc.
Nous supposerons que l’inconnue est une ligne droite ;
G ÉOM ÉTKIE AN A LYTIQUE, quand l’inconnue est une surface ou un volume, on la représente par a tou a'x, a étant une ligne prise arbitrairement, la construction de la ligne x donne un rectangle ou un parallélipipède équivalents à la surface ou au volume cherché. La détermination d’un angle donné par une de ses lignes trigonométriques se ramène aussi à celle d’une droite. Nous supposerons encore que toutes les lettres désignent, ainsi que x, des lignes droites.
La formule doit êlre homogène et du premier degré, elle peut d’ailleurs être entière, rationnelle ou irrationnelle. Quand elle est entière, elle a la forme
et la longueur x s’obtient en portant à la suite l'une de l'autre, dans un sens ou dans l’autre, les longueurs a, b, c.
378 — Monôme rationnel.— Considérons d’abord la formule
L’inconnue est une quatrième proportionnelle que l’on construira par deux parallèles ou par un cercle.
Soit maintenant
abcd a
x— — r— , ou x —
b cd
a,bl& a‘
L'inconnue x s’obtiendra par une série de quatrièmes proportionnelles,
bf ap
cd
Par la construction précédente un monôme du degré m
— f se ramènera a la forme ai ..../, ou encore a
ave
celle-ci X"1-1 l,X étant une ligne quelconque et t une ligne déterminée par la formule
ai I
379— Fonction rationnelle.— Considérons la formule A — 11 + C X A'+B'— C”
