REPRÉSENTATION DES SURFACES PAR DES ÉQUATIONS
39®— Considérons une surface quelconque dans l’espace. *1 Par un point O, menons trois axes
fixes OX, OY, OZ ; dans le plan XOY prenons un point P arbitraire, et par ce point menons une parallèle PM à l’axe OZ jusqu’à sa ren-
/* contre avec la surface au point M ;
V la longueur de l’ordonnée PM est
parfaitement déterminée. Quand fie- «* le point P se déplace dans le
plan XOY, l’ordonnée PM varie simultanément. Mais puisque le point P se déplace d’une manière arbitraire dans le plan, ses coordonées x et y sont deux variables indépendantes; il en résulte que l'ordonnée z d’un point M de la surface est une fonction des deux autres coordonnées x et y considérées comme deux variables indépendantes. On conçoit que l’on puisse, de la définition géométrique de la surface, déduire une équation entre x, y, z, servant à définir la fonction z de x et de y. Cette équation s’appelle l’équation de la surface.
397— Supposons réciproquement que l’on donne une équation
entre les trois coordonnées; chaque système de valeurs réelles qui satisfont à cette équation détermine Un point de l’espace;
l’ensemble de toutes les solutions réelles constitue un système de points qui forme, en général, une surface.
En effet, considérons d’abord le cas où l’équation, ne renfermant qu’une seule des coordonnées, z par exemple, est de la forme z=c. Puisque Fig. «a. les coordonnées x et y sont arbi-
traires, par un point P quelconque du plan XOY on mènera une ordonnée constante PM ; le lieu des points M est évidemment un plan parallèle au plan XOY. Supposons maintenant que l’équation renferme deux coordonnées, x et y par exemple.
L’équation f{x, y)=t>, dans le plan XOY , représente une ligne AB.
Par un point quelconque de cette ligne, menons une parallèle PM a l’axe OZ; puisque l’ordonnée s, qui n’entre pas dans l’équation, est arbitraire, les coordonnées de tous les points de la droite PM satis- Fig. îit. font à l’équation- Donc l’équation
f(x,y) = 0 représente dans l’espace un cylindre parallèle à l’axe OZ.
Considérons enfin un équation f(x, y, z)=U entre les trois coordonnées. A une distance arbitraire OC=c, menons un plan
ACB parallèle au plan XOY ; les | 1 coordonnées a: et y de tous les
points du lieu situés dans ce plan
/ — doivent satisfaire à l’équation
B / /f J- '“71 ([x, y, c)=0; or, cette équation
— I — représente dans le plan ACB - une ligne AB. Si l’on donne àz
* une valeur & voisine de c, on aura dans le plan A'C'B' une r seconde courbe A B' qui difle-
rig- *«. rera très-peu de la précédente.
En général, quand z varie d’une manière continue entre certaines limites, on a une série continue de courbes, lesquelles forment une surface.
Par cette méthode, non-seulement on démontre l’existence de la surface, mais encore on se fait une idée assez exacte de sa forme, à l’aide d’une série de coupes parallèles que l’on représente par leurs projections sur l’un des plans des coordonnées.
