CLASSIFICATION DES SURFACES

410— On distingue les surfaces, comme les lignes, en al-

LIV. V, CHAP. II. — TRANSF. DKS COORDONNÉES. 379 gébriques et transcendantes, suivant que leurs équations sont elles-mêmes algébriques ou transcendantes. Quand l’équation est algébrique, elle peut toujours se ramener à la forme entière, et une transformation d’axes rectilignes ne change pas son degré. Le nombre qui exprime ce degré sert à classer les surfaces en ordres; ainsi, on dit qu’une surface est du premier, du second, du troisième ordre, etc., lorsque son équation est du premier, du second, du troisième degré, etc.

Pour que l’équation algébrique entière du degré m f{x, y, z)= 0,

représente réellement une surface de l’ordre m, il faut que son premier membre ne puisse pas se décomposer en un produit de deux fonctions entières, ou qu’elle soit irréductible. Deux équations irréductibles distinctes représentent deux surfaces qui peuvent avoir une ou plusieurs lignes communes, mais ces surfaces n'ont jamais d’éléments superficiels communs; car pour avoir des systèmes communs de solutions des deux équations, on ne peut pas prendre arbitrairement, môme entre des limites très-resserrées, deux des variables.

Un plan coupe une surface algébrique de l’ordre m suivant une ligne algébrique dont l’ordre ne peut dépasser m; en effet, si l’on rapporte celte surface à un système de trois plans coordonnés, dont fasse partie celui que l’on considère, on obtient l’équation de la ligne d’intersection, par rapport à deux des axes coordonnés, en remplaçant dans l'équation de la surface l’une des coordonnées par zéro ; le polynôme à deux variables qui en résulte ne peut évidemment être d’un degré supérieur à m. Si la surface avait dans un plan plus de points qu’il n’en faut pour déterminer une ligne de l’ordre m, le plan tout entier ferait partie de la surface, et l’équation se décomposerait en deux facteurs. Une ligne droite rencontre une surface de l’ordre m en m points au plus, ou bien elle est située tout entière sur la surface.

SECTION D’iNE SURFACE PAR UN PLAN.

411— Supposons d’abord que le plan passe par l’origine.

sa position se détermine comme au n° 407 , par les deux angles 0 et <J>, tandis que la position des axes OX', 0\T/, auxquels on rapporte la courbe, est donnée par l’angle f. Ordinairement, on lait coïncider l’axe OX' avec la trace du plan sécant sur le plan XOY, alors on a f = 0. Dans l'équation de la surface f(x, y, z)=0, il faut donc mettre à la place de x, y, z les seconds membres des formules (10), puis faire <p=0 et z' = 0, ce qui revient à remplacer simplement x, y, z par les expressions

x=x'cosÿ — y1 sin^cosd,

(12) y=x,sin>}'-i-y,cos>}<cosO, z = y'sÏHÔ,

que l’on obtient en faisant <p=0 et z'=0dans les formules (10).

On trouve ces formules directement par deux rotations, l’une <]< autour de OZ, l’autre 0 autour de OX'.

Si le plan sécant défini de la même manière, quant à sa direction, au lieu d’être mené par l’origine, passait en un point ayant pour coordonnées a, b, c, dans les formules précédentes, on mettrait x — a, y — b, z — c à la place de x, y, z.