L1V. V, CHAP. 11.— TRANSF. DES COORDONNÉES

ix~x' [coi p coi t — «in ? tin ■} cot 6)+ÿ’( — lin ? coi f — cot ? lin ÿ coi 6)+i' sinptine, ü~x'[coifim Ÿ-t-iinŸCoi<pcoiO)-\-t/'( — tin? «in p-\-coi? cot /. cos 9)+i' ( — cotptino), *~x' un? tinO-j-y' cotftin 6-{-i’coiû.

Telles sont les formules connues sous le nom de formules d’EltER.

La comparaison de ces formules, avec celles du n°405, conduit aux relations suivantes :

(a =cos<icos']i — sintpsin^cosO, a' z^cos^sinty+sinycostycosQ , a"=:sin<fsin0;

b = — si» 9 co.S'j/ — costfsin^cosü,

(il) < b' = — si»ipsi»'}+coscpcos{<cosO,

J b,l=co$<fSinQ;

I c =sintysin 0, f d = — cos^siné, l d' — cos 0 ;

d’où

la,,9ï=ÿr' l(ing\— — y-

408— Remarque. Lorsqu’un corps tourne autour d’un axe fixe, la rotation peut s’effectuer dans deux sens différents qu'il importe de distinguer. Considérons, par exemple, une rotation autour de l’axe OZ ; en vertu de celle rotation, un rayon OA, mobile autour du point 0, tournera dans le plan XOY. Imaginons qu'un observateur soit placé sur l’axe OZ, les pieds en 0, la tête en Z ; cet observateur verra le rayon mobile OA tourner, soit de gauche à droite, soit de droite à gauche en passant devant lui ; on dira que la rotation est directe pour l’observateur dans le premier cas, inverse dans le second cas. Dans la figure, la rotation est directe, si OA tourne de OX vers OY dans le sens indiqué par la flèche ; elle est inverse, si OA tourne eu sens contraire.

Fig. *31.

Deux systèmes d’axes rectangulaires OXYZ, OX'Y'Z' , ne sont pas toujours susceptibles de coïncider. Pour le reconnaître, imaginons deux observateurs placés l’un sur OZ, l’autre sur OZ' ; le premier observant la rotation de OX vers OY, le second celle de OX' vers OY' ; si les deux rotations s’effectuent dans le même sens, par exemple dans le sens direct, comme cela a lieu dans la figure du numéro précédent, les deux systèmes d’axes peuvent coïncider. En effet, si l’on place OZ sur OZ', et si l’on fait tourner autour de l’axe commun, de manière à amener OX sur OX', nécessairement OY coïncidera avec OY'; car OY et OY7 forment tous deux un angle droit avec OX ou OX' dans le même sens. Mais si les deux rotations étaient de sens contraire, après avoir fait coïncider OZ avec OZ', OX avec OX', on verrait OY se placer, non plus sur OY', mais sur son prolongement.

Dans les formules d'Euler, on suppose que les deux systèmes d’axes rectangulaires offrent la même disposition, c’est-à-dire sont susceptibles de coïncider. On a amené le système primitif sur le système nouveau, par trois rotations directes. L’angle de la rotation autour de OZ varie de 0 à 2*; l’angle 6 de la rotation autour de OA est compris entre 0 et ir, pourvu que sur l’intersection des plans XO\r et X'OY" on choisisse convenablement la direction OA; la rotation de ? autour de OZ' varie de 0 à 2ir.

400 — Formules générales. — Lorsqu’on change à la fois l’origine et la direction des axes, en menant par la nouvelle origine O', dont les coordonnées relativement à l’ancien système sont a, b, c, trois axes 0X„ 0Y „ 0Z„ parallèles aux premiers et de même direction, on a x=a- f-r,, y=b+yt, z=c-\-z,; ensuite, xit y„ z, s’expriment en xf, y', z' par l'un des groupes d’équations écrites précédemment; il suffit donc, pour avoir les formules générales , de remplacer dans ces équations x, y, z respectivement par x— a, y — b, z — c.