V. I, CHAI*. II.— pXEMPLES

les tangentes aux deux branches de courbe qui passent en ce point sont respectivement perpendiculaires aux tangentes telles que AC” menées de ce point au cercle donné.

Nous ferons remarquer que la construction géométrique de la tangente resterait la même, si l’on considérait le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée d’un (ioint fixe sur la tangente mobile à une courbe quelconque.

3$ — Cherchons l’équation de celle courbe en coordonnées polaires ; prenons le point A pour pôle, le diamètre AG pour axe polaire (fig. 2Aj, et désignons par a le rayon BG du cercle donné, et par b la dislance AB. Si par le centre B du cercle, ou mène une parallèle BD à la tangente CM . on a f,=AD-p DM=6 cos <« + rt.

Celle équation est la même que l'équation il), d’où I on conclut l’idenlilé des deux courbes.

Au reste, il est facile de reconnaître géométriquement celte identité. L’angle D élant droit , le lieu du point D est le cercle décrit sur AB comme diamètre; on obtiendra donc le point M en prolongeant la corde AD d une quantité constante PM égale à BC.

BOSACK A QUATRE BRANCHES.

39— Étant données deux droites rectangulaires OJL , OV,

Sur lesquelles glissent les extrémités d’une droite PQ de longueur constante, du pointO on abaisse une perpendiculaire OM sur cette droite; y- étudier le lieu du point M (fig. 20).

Quand Iq droite PQ s'applique sut 0\ . le point M vient en 0, et la cordc OM

prend la direction OX ; donc la tangente en O à l’arc OM coïncide avec OX. Le point I, milieu de PQ, décrit un cercle dont le centre est en O, et le rayon égal à a, si l’on désigne par 2o la longueur constante PQ. Or la perpendiculaire OM est plus petite que l’oblique 01 ; donc la distance OM est maximum quand la droite PQ est perpendiculaire sur la bissectrice OA. Lorsque la droite mobile continue son mouvement, elle passe par une position P'Q' symétrique de PQ par rapport à la bissectrice OA , et l’on obtient un arc OM'A symétrique de Parc OMA.

La même courbe se reproduit dans chacun des quatre angles droits. Ainsi la courbe a quatre axes, savoir : les deux droites fixes OX,OY, et les deux bissectrices à OA, OR. Le point 0 est centre de la courbe.

Si l’on prend le point 0 pour pôle, et OX pour axe polaire, on a, dans les triangles rectangles OMP, OPQ,

p = OP cos w,

0P= 2a sint»;

donc

(I) p—asinÜM.

En coordonnées rectilignes, la courbe est représentée par une équation du sixième degré.

(2) (Æ’+y*)* — la'x'y'=0.