LIV. I, CHAI». III.— DE L’HOMOGÉNÉITÉ

Telles sont, par exemple, les fonctions

a-f v' ab

a*+2aè.

a^b + b v csin a

le degré de la première est 2, celui de la seconde—, celui de la troisième 0, et celui de la quatrième —2.

41— On voit aisément :

1* Que la somme ou la différence de deux fonctions homogènes du même degré est une fonction homogène du même degré que les fonctions proposées ;

2» Que le produit de plusieurs fonctions homogènes de degrés quelconques est une fonction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées;

3° Que le quotient de deux fonctions homogènes est une fonction homogène dont te degré est égal à l’excès du degré du dividende sur le degré du diviseur;

4* Que la puissance d une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée multiplié par l’indice de la puissance;

5° Que la racine d’une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée divisé par l’indice de la racine ; •

6° Qu’une fonction transcendante d’une fonction homogène de degré 0 est elle-même homogène et de degré 0. Par exemple, les fonctions

sin

ab a3-f 6

sont homogènes et de degré 0; car si on remplace a et b par Aa et kb, la lettre k disparaît de dessous le signe transcendant et on peut mettre en avant le facteur A°. Mais si la quantité placée sous le signe transcendant, quoique homogène, n'était pas du degré 0, la lettre k ne pourrait se mettre en facteur en avant du signe transcendant et la fonction ne serait pas homogène. Ainsi la fonction sin (a+v'ïc) n'est pas homogène.

üfcoMÊlUlE ANALYTIQUE.

Lorsqu’un monôme est rationnel et entier par rapport aux lettres a, b,e..., on appelle degré du monôme, par rapport à une lettre, l’exposant de cette lettre dans le monôme; degré du monôme, par rapport à plusieurs lettres, la somme des exposants de ces lettres. Un monôme est toujours une fonction homogène d’un degré égal an degré du monôme : donc la somme de plusieurs monômes de même degré est un polynôme homogène de ce même degré. Par exemple, le polynôme a5— i a’ft-LSaô1— 26»

esl une fonction homogène au troisième degré, par rapport aux lettres a et b.

4$— Lorsqu’on cherche les relations qui existent entre les longueurs des diverses lignes A, B, C,... d’une ligure, on imagine ces lignes reportées à une unité de longueur, qui ordinairement n’est j>as spécifiée et reste loulà fait arbitraire ..Désignons par les lettres a, 6, c,... les nombres qui expriment ainsi les mesures des lignes de la figure, et supposons que l'on ail trouvé entre ces nombres la relation

(I) f(a,b,c,...)=zO.

Les raisonnements que l’on a faits pour arriver à celle rcldliou étant indépendants de l imité île longueur, il est évident que cette relation doit subsister, quelle que soit celle unité. Appelons o, p, 7,. . les valeurs particulières de a, b, c,... pour une jlrclhlère unité; à', j3', /,... les valeurs de ces mêmes quantités pour Une autre imité; ces deux séries de nombres vérifient les relations

Mais quand oh change l’unité, les nombres varient proporlionnelleinciil, de sorte que si I on désigne par A le rapport de la jirêmlère unité â la seconde, ou a

d'où,

p = Afi, 7— A y, ..

uv. i, ciiàp. in. — Dt: l'Homogénéité. ai

Si l’on substitue dans la relation (:j), il vient (1) f(k*, k% ky,...) = 0.

Concevons que la première unité restant fixe, la seconde varie, a, Jj, y,... seront des nombres constants, À- un nombre arbitraire, et l’éi|iiation (-!) devra être vérifiée quel que soit ce nombre k.

Ainsi : si l’ équation (1) est vérifiée quand on y remplace les lettres a,b,é,... fidr les bombées a, 5, y,... elle sera aussi vérifiée quand on y Remplacera ces memes lettres par k«, k fi, kv,... quel que soit le nombre k.

43 — Là cbhditiôn prcècdënlé es! évidemment remplie loës- (|ilë lë premier membre cté réqiintion (t) est une fonction homogène des lettres a, b, c,... ; car alors on a

f(k<x, /„•£, ky,...)=kmf(*,p, y,...); si f (i, 8, y,...} est nul, il en sera de même de / (ka, k% k y,...), quel que soit k.

Nous allons démontrer due, réciproquement, l’homogénéité ësl nécessaire, en nous bornant aux équations algébriques mises èotls fbrine entière.

Supposons que f[a, b,r,...) soit un polynôme entier; si tous ses ièrmeS rte sont (las du même degré, réunissons par groupes les termes dont le degré est le même; appelons a (a, b, c,...) l'ensemble des ternies du degré le plus élevé m, |« (a, b , c,...) l'ensemble des ternies du degré n, etc., l’équation (t) devient

? (a, P.ïv! + f‘‘ I («, P, r.--) +••• =•>•

Poilr que celle équàiioti soit vérifiée, quel que soil k, il est nécessaire que l’on dit êëparémeiil

? (a, P, Tv)=0, k (à, 6, Y,. ;.) = 0,. .......

Comble l’utiité à laquelle se nijiportehl les nombres a, fl, y,... est arbitraire, dit a entre les lignes dë la figure les relations homogènes

9(a,b,c,...)=b, kîâ,b,r,...)=0,....

bdtic, si l’équation (!) n'est pas homoyéne, elle équivaut à plusieurs équations homoyénes séparément.

44 — Cependant il peut arriver qu’une équation non homo-

gène soit vérifiée, quand on fait choix d’une unité particulière, sans que les parties qui la composent soient nulles séparément; mais alors, si l’on change l’unité, l’équation cesse d’étre vérifiée.

Expliquons ceci par un exemple.

Proposons-nous de déterminer les dimensions d’un cylindre de telle sorte que sa surface soit équivalente à celle d’une sphère de rayon donné A et son volume à celui d’une sphère de rayon B.

Soient X le rayon et Y la hauteur du cylindre; appelons a, 6, x, y les mesures des lignes A, B, X, Y, rapportées à une unité quelconque; les inconnues devront satisfaire aux deux équations

(S) x* -j -xy — 2a’=0,

Chacune de ces équations est homogène : l’une est du second degré, l’autre du troisième. Si elles sont vérifiées quand on rapporte les lignes à une certaine unité, il en sera de même quand on les rapportera à une autre unité.

Les inconnues x et y doivent également satisfaire à l’équation non homogène

que l’on obtient en ajoutant les précédentes membre à membre.

Considérons l’équation (7), abstraction faite de son origine. On peut trouver quatre lignes A, B, X, Y, telles que, si on les mesure avec une unité particulière, les nombres obtenus vérifient cette équation sans annuler séparément les deux parties; supposons, par exemple, que les lignes rapportées a une première unité aient pour mesure les quatre nombres a=l, 6=3, x=l, y=18,5, dont trois ont été pris arbitrairement et le quatrième déterminé ensuite par l’équation (7); si on mesure les mêmes lignes avec une unité deux fois plus petite, on obtient les nombres a= 2, 6=6, ar=2, y=3~i qui ne satisfont plus à l'équalion. Le cylindre construit avec les lignes X et Y ainsi

(7) (x'+ry— 2 a*)+ (x'y — j6